Question

1/100+1/121+1/144+1/169+...+1/1000000的误差小于0.006的近似值是多少?

Answer 1

给你个方法，误差最后证明一下
100≈99.75=(10+0.5)(10-0.5),
这样1/100≈1/(10.5*9.5)=1/(9.5) - 1/(10.5)
同理1/121≈1/(10.5) - 1/(11.5)
1/144≈1/(11.5) - 1/(12.5)
...
1/1000000≈1/(999.5) - 1/(1000.5)

原式≈1/(9.5) - 1/(10.5) + 1/(10.5) - 1/(11.5) + 1/(11.5) - 1/(12.5)
+...+ 1/(999.5) - 1/(1000.5)=1/9.5 - 1/1000.5≈1/9.5

分母为n²的一项的误差δn=1/(n+0.5)(n-0.5) - 1/n²=0.25/[n²(n+0.5)(n-0.5)] 是个关于n的减函数，也就是n越大，δn越小
10≤n<100时
所以δn<0.000025
误差和：∑δn<0.00225

100≤n≤1000时
所以δn<0.0000000025
误差和：∑δn<0.0000022525

再算上约去1/1000.5的误差，绝对小于0.006

所以总误差<0.006

P.S.:我用能算级数的计算器算了误差是千分之1.09大约，绝对！！