Question

高一数学必修5

1.在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C且A=2C，b=4，a+c=8，求a,c的长
2.已知∠A，∠B满足条件b-bcosA=a-acosB，若是∠A，∠B是的△ABC内角，且∠A的对边是a，∠B的对边是b，试确定△ABC的形状
3.在△ABC中，若sinA+sinB=sinC×(cosA+cosB)
(1)判断△ABC的形状；
(2)在上述△ABC中，若∠C的对边c=1，求该三角形内切圆半径的取值范围
今天晚上就要用啊！！！！

Answer 1

1、答案是： a=4.8 c=3.2
sinB=sin(180-B)=sin(A+C)=sin3C
sinA=sin2C
由正弦定理得
b/sinB=(a+c)/(sinA+sinC)
4/sin3C=8/(sinA+sinC)
2sin3C=sin2C+sinC
之后用3倍2倍角及恒等式可得出8cos^2C-2cosC-3=0
所以cosC=3/4 (cosC=-1/2舍去)
sinC=√7/4
sinA=sin2C=3√7/8
a/c=sinA/sinc=3:2
所以a=24/5 c=16/5
2、由 b-bcosA=a-acosB
得 a/b=(1-cosA)/(1-cosB)
又 a/sinA=b/sinB,所以a/b=sinA/sinB
得sinA的平方/sinB的平方=(1-cosA)的平方/(1-cosB)的平方，
故（1-cosA）（1+cosA）/[(1-cosB）（1+cosB）]==(1-cosA)的平方/(1-cosB)的平方.
（1+cosA）/（1+cosB）==(1-cosA)/(1-cosB)
化简后得：cosA=cosB，所以角A=角B。
因此 △ABC是等腰三角形。

3、因为 sinC=sin(A+B)
故 原式可化简如下
2×sin[(A+B)/2]×cos[(A+B)/2]×2×cos[(A+B)/2]×cos[(A-B)/2]
= 2×sin[(A+B)/2]×cos[(A-B)/2]
= > cos[(A+B)/2]×cos[(A+B)/2]=1/2
= > sin(C/2)×sin(C/2)=1/2
所以： C/2=45(度）
即 C=90(度） 该三角形为直角三角形。
利用上面得到的结论得出：0<r<=(√2-1)/2.
面积ab=（a+b+1）× r， a^2+b^2=1 ,令a=cosx ，b=sinx，
r=sinxcosx/1+sinx+cosx=sin2x/2[1+√2sin(x+π/4)]
r 取值范围： 0<r<=(√2-1)/2