Question

λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，求α1，A(α1+α2)线性无关充要条件

Answer 1

证明: 因为A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 α1，α2 线性无关

又 A(α1+α2) = Aα1+Aα2 = λ1α1+λ2α2
故 α1，A(α1+α2) 线性无关充要条件是行列式
1 0
λ1 λ2
不等于0.
即 λ2 ≠ 0.

满意请采纳

追问

请把那个行列式尽量说详细点

追答

给你一个好接受的证明方法吧

设 k1α1+k2(λ1α1+λ2α2) = 0 (*)
则 α1，A(α1+α2)线性无关充要条件是 k1,k2 只能为0.

(*)式改写为 (k1+k2λ1)α1 + k2λ2α2 =0
因为 α1,α2 无关
所以 k1+k2λ1 = 0
k2λ2 = 0
将k1,k2 看作未知量. 则上齐次线性方程组只有零解的充要条件是系数行列式≠ 0.
而系数行列式 =
1 λ1
0 λ2
= λ2
(注: 这个行列式就是上一个解法的行列式的转置)
故 α1，A(α1+α2)线性无关充要条件是 λ2≠ 0.

Answer 2

设α1，A(α1+α2)线性相关，则α1=kA(α1+α2)
因为α1是特征向量显然k≠0（否则α1=0，与α1是特征向量矛盾）
所以α1=kA(α1+α2)=k(λ1α1+λ2α2)
又α1，α2无关，故kλ2α2=0。而k≠0，α2≠0，
所以λ2=0.
因此α1，A(α1+α2)线性无关充要条件是λ2 ≠ 0.

Answer 3

λ1=0

追问

你们答案完全不一样啊，请写下过程