Question

λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，求证α1，α2线性无关。

Answer 1

证明：设k1α1+k2(λ1α1+λ2α2) = 0，则 α1，A(α1+α2)线性无关充要条件是 k1,k2 只能为0

式改写为 (k1+k2λ1)α1 + k2λ2α2 =0 

因为 α1,α2 无关 

所以 k1+k2λ1 = 0 k2λ2 = 0 

将k1,k2 看作未知量

则上齐次线性方程组只有零解的充要条件是系数行列式≠ 0.

而系数行列式 = 1 λ1 0 λ2 = λ2 

A(α1+α2)线性无关充要条件是 λ2≠ 0

扩展资料

公式：

证明方法：

如果它的n个行(列)向量是线性独立的，则该方阵的秩为n，反之如果其n个行向量或n个列向量是线性相关的，则其秩一定小于n，综上所述n×n阶矩阵秩为n的充分必要条件是n个行向量或n个列向量是线性独立的。

由于该矩阵的三个行向量是线性相关的，故以-2乘第二行向量，以-1乘第三行向量，然后都加到第一行上去，则得到第一行全为零的矩阵。

故该矩阵的秩小于n，反之，若矩阵的n个行向量或列向量是线性独立的，则无论怎样进行初等变换，也不可能将它变成某一行或某一列为零向量的形式。

设A为m×n阶矩阵，如果rankA=r，则其m个行向量中有r个是线性独立的，其他(m—r)个行向量可用其线性组合表出。此外n个列向量中也有r个是线性独立的，其它(n-r)个列向量亦可用其线性组合表出。由此可知，A矩阵的秩的数目就是A矩阵的最大的线性独立的行(列)向量的数目。

Answer 2

证明: 设 k1α1+k2α2=0 (1)
等式两边左乘A得 k1Aα1+k2Aα2=0
由已知得 k1λ1α1+k2λ2α2=0 (2)
λ1*(1) - (2)
k2(λ1-λ2)α2=0
因为α2是特征向量, 故不等于0
所以 k2(λ1-λ2)=0
而 λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值
所以 k2=0
代入(1)知k1=0.
故α1,α2线性无关

Answer 3

定理：属于不同特征值的特征向量是线性无关的
证明：对特征值的个数做数学归纳法。由于特征向量是不为零的，所以单个的特征向量必然线性无关。现在设属于k个不同特征值的特征向量线性无关，
我们证明属于k+1个不同特征值λ1,λ2,...,λ(k+1)的特征向量ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)也线性无关。
假设有关系式a1ξ1+a2ξ2+...+akξk+a(k+1)ξ(k+1)=0（1）成立，等式两端乘以λ(k+1)得：
a1λ(k+1)ξ1+a2λ(k+1)ξ2+...+akλ(k+1)ξk+a(k+1)λ(k+1)ξ(k+1)=0（2）
（1）式两端同时作用A，即有
a1λ1ξ1+a2λ2ξ2+...+akλkξk+a(k+1)λ(k+1)ξ(k+1)=0（3）
（3）减去（2）得到
a1(λ1-λ(k+1))ξ1+...+a(k+1)(λk-λ(k+1))ξ(k+1)=0
根据归纳法假设，ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)线性无关，于是ai(λi-λ(k+1))=0,i=1,2,...,k.
但λi-λ(k+1)≠0(i≤k)，所以ai=0，i=1,2,...,k.
这时（1）式变为a(k+1)ξ(k+1)=0.又因为ξ(k+1)≠0，所以只有a(k+1).
这就证明了ξ1,ξ2,...,ξ(k+1)线性无关。