Question

几道初中数学题，求解。要详细说出如何解答的，我看明白了还加分

1：x，y，z均为整数，若11整除7x+2y-5z，求证：11整除3x-7y+12z

2：已知a,b,x,y满足a+b=x+y=2，ax+by=5，则（a²+b²)xy+ab(x²＋y²)＝?

3:一个正整数加上100是一个完全平方数；若加上168，则是另外一个完全平方数，求这个正整数

Answer 1

1. (7x+2y-5z)*2-(3x-7y+12z)=11x+11y-22z=11(x+y-2z) (1)
因x、y、z都是整数，所以(1)式可以被11整除，
也即(7x+2y-5z)*2-(3x-7y+12z)可以被11整除，
又7x+2y-5z可以被11整除，所以，3x-7y+12z可以被11整除。

2. (a+b)*(x+y)=ax+ay+bx+by=(ax+by)+(ay+bx)=2*2=4，
代入ax+by=5，得ay+bx=-1
(a²+b²)xy+ab(x²＋y²)
=a²xy+b²xy+abx²+aby²
=(a²xy+abx²)+(b²xy+aby²)
=ax(ay+bx)+by(ay+bx)
=(ay+bx)(ax+by)
=(-1)*5
=-5

3. 设第一个完全平方数为x²，x为正整数。明显，第二个平方数比第一个大，可表示为(x+n)²，n为大于等于1的正整数。
则(x+n)²-x²=2nx+n²=168-100=68
从1开始尝试n，解关于正整数x的方程，可得当n=2时，x=16
所以，这个正整数为16²-100=156

Answer 2

1、因为：11整除7x+2y-5z
所以：11整除（7x+2y-5z）×2，
（7x+2y-5z）×2=14x+4y-10z，
因：x、y、z均为整数，
所以：x+y-2z为整数，
所以：11整除11×（x+y-2z），
又因为：11×（x+y-2z）=11x+11y-22z，
所以：（7x+2y-5z）×2-11×（x+y-2z）=3x-7y+12z，
所以：11能整除3x-7y+12z．
2、(a+b)*(x+y)
=ax+bx+ay+by
=(ax+by)+(bx+ay)
=5+(bx+ay)
=2*2=4
那么bx+ay=-1
（a²+b ²)xy+ab(x²+y²）
=ax(ay+bx)+by(bx+ay)
=(ax+by)*(bx+ay)
=5*（-1）
=-5
3、设所求的数为n，由题意，得：
n + 168 = a^2……(1)
n + 100 = b^2……(2)
(1)式减去(2)式得
68 = a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
由于68 = 1 * 68 = 2 * 34 = 4 * 17，只有三种分解方式，所以只有
i) a + b = 68, a - b = 1
或
ii) a + b = 34, a - b = 2
或
iii) a + b = 17, a - b = 4
这三种情况。
对情况i)，a与b没有整数解，排除；
对情况ii)，算出a = 18, b = 16，所以
n = 18^2 - 168 = 16^2 - 100 = 156；
对情况iii)，a与b没有整数解，排除。
综上，只有唯一解，即n = 156。即为所求的数。

Answer 3

1：x，y，z均为整数，若11整除7x+2y-5z，求证：11整除3x-7y+12z

证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)

而 11｜11(3x-2y+3z),

且 11｜(7x+2y-5z),

∴ 11｜4(3x-7y+12z)

又 (11,4)=1

∴ 11｜(3x-7y+12z).

2：已知a,b,x,y满足a+b=x+y=2，ax+by=5，则（a²+b²)xy+ab(x²＋y²)＝?
( a²＋b²）xy ＋ab（x²＋y²） = a²xy +b²xy +abx²+aby² =ay(ax+by)+bx(by+ax) =(ax+by)(ay+bx) =5(ay+bx).
∵a＋b＝x＋y＝2 y=2-x,x=2-y ay+bx=a(2-x)+b(2-y)=2a-ax+2b-by=2(a+b)-(ax+by)=4-5=-1.
∴（ a²＋b²）xy ＋ab（x²＋y²） =5(ay+bx) =-5.
3:一个正整数加上100是一个完全平方数；若加上168，则是另外一个完全平方数，求这个正整数
设所求的数为n，由题意，得：
n + 168 = a^2……(1)
n + 100 = b^2……(2)

(1)式减去(2)式得
68 = a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

由于68 = 1 * 68 = 2 * 34 = 4 * 17，只有三种分解方式，所以只有
i) a + b = 68, a - b = 1
或
ii) a + b = 34, a - b = 2
或
iii) a + b = 17, a - b = 4
这三种情况。
对情况i)，a与b没有整数解，排除；
对情况ii)，算出a = 18, b = 16，所以
n = 18^2 - 168 = 16^2 - 100 = 156；
对情况iii)，a与b没有整数解，排除。

综上，只有唯一解，即n = 156。即为所求的数。

Answer 4

第一题 11整除 7X+2y-5Z 则 7X+2y-5Z是11的倍数
（7X+2y-5Z）*2=14X+4Y-10Z 则也是11的倍数
11X+11Y-22Z也是11的倍数 14X+4Y-10Z-（11X+11Y-22Z）即也是11的倍数
14X+4Y-10Z-（11X+11Y-22Z）=3X-7Y+12Z
第二题 将原式展开 然后整理 可以得到ax(ay+bx)+by(bx+ay)
然后提取公因式得 (ax+by)(ay+bx）因为ax+by=5 所以原式=5（ay+bx）
然后想办法凑 ax+by a=2-b b=2-a
整理得5[(2-b)y+(2-a)x] =5(2y+2x-by-ax)=5*(2*2-5)=-5

Answer 5

1、A=7x＋2y－5z可以被11整除，则2A也可以被11整除，又设B=3x－7y＋12z，则2A－B=11x＋11y－22z=11(x＋y－2)也可以被11整除，则B可以被11整除；
2、(a²＋b²)xy＋ab(x²＋y²)=[a²xy＋x²ab]＋[b²xy＋y²ab]=ax(ay＋bx)＋by(bx＋ay)=(ax＋by)(bx＋ay)。另外，4=(a＋b)(x＋y)=ax＋ay＋bx＋by=5＋bx＋ay，则bx＋ay=－1，则原式的值是－5；
3、设这个正整数是m，则m＋100=p²，m＋168=q²，两式相减，得：q²－p²=68，即：
(q＋p)(q－p)=68=1×2×2×17，又q＋p和q－p有相同的奇偶性，则必须有：q＋p=34且q－p=2，得q=18、p=16，从而m=156