Question

已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1.且对任意x1,x2∈R，总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1恒成立。

(1)对任意n∈N*，有an=1/f(n),bn=f(1/2^(n-1))+1,求：Sn=a1a2+a2a3+...+anan+1及Tn=b1/a1+b2/a2+...+bn/an
(2)求F(n)=An+1+An+2+...+A2n(n≥2，n∈N*)的最小值
（我省去了会做的一问不知道有没有用处：f(x)+1是奇函数）
在线等，比较急，谢谢

Answer 1

(1解：f(n)=f(n-1)+f(1)+1 即：f(n)=f(n-1)+2
所以：f(1)=1;f(2)=3;f(3)=4;...f(n)=2n-1
a1=1;a2=1/3;a3=1/5...an=1/(2n-1);an+1=1/(2n+1)
Sn=1*1/3+1/3*1/5+1/5*1/7+...+1/(2n-1)*1/(2n+1)
=1/2*[1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)
=1/2*[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)
又因为：1=f[^(1-n)/2^(1-n)] =2^(n-1)*f[1/2^(n-1)]+[2^(n-1)-1]*1
所以：bn=f(1/2^(n-1））=2/2^(n-1)-1
所以：bn/an=（4n-2)/2^(n-1) 所以：b1/a1=2;b2/a2=3
Tn=2*(1/2)^0+6*(1/2)^1+10*(1/2)^2+14*(1/2)^3+...+(4n-2)*(1/2)^(n-1) ①
1/2Tn=2*(1/2)^1+6*(1/2)^2+10*(1/2)^3+.......+(4n-6)*(1/2)^(n-1)+(4n-2)*(1/2)^n ②
由①-②得1/2Tn=2*(1/2)^0+4*(1/2)^1+4*(1/2)^2+4*(1/2)^3+...+4*(1/2)^(n-1)-(4n-2)*(1/2)^n
=2+4*{(1/2)*[1-(1/2)^(n-1)]/(1/2)}-(4n-2)*(1/2)^n
=6-(4n+6)*(1/2)^n
所以：Tn=12-(8n+12)*(1/2)^n

Answer 2

解：（1）f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1 则f(n)=f(n-1)+f(1)+1
f(n-1)=f(n-2)+f(1)+1
……
f(2)=f(1)+f(1)+1
则f(n)=nf(1)+n-1=2n-1
则an=1/f(n)=1/(2n-1),令cn=anan+1=1/(2n－1)(2n+1)
则Sn=a1a2+a2a3+...+anan+1=½﹙1－1/(2n+1)﹚=n/(2n+1)

Answer 3

解：（1）f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1 则f(n)=f(n-1)+f(1)+1
f(n-1)=f(n-2)+f(1)+1
……
f(2)=f(1)+f(1)+1
则f(n)=nf(1)+n-1=2n-1
则an=1/f(n)=1/(2n-1),令cn=anan+1=1/(2n－1)(2n+1)
则Sn=a1a2+a2a3+...+anan+1=½﹙1－1/(2n+1)﹚=n/(2n+1)
用类似的方法做吧 这样写写太麻烦了！

Answer 4

2

追问

如果你回答不出来你可以选择不回答，有必要骂人吗？很可笑啊