Question

已知f（x）是定义在R上的函数，对于任意x1、x2∈R，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1恒成立，且当x＞0时，f

已知f（x）是定义在R上的函数，对于任意x1、x2∈R，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1恒成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（2013）=2014，且f（x2-ax-3）＜3对任意x∈（-1，1）恒成立，则实数a的取值范围为______．

Answer 1

任意取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1，
∵x＞0时，f（x）＞1，且x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）-1＞1-1=0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是定义在R上的增函数，
由f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，得
f（2013）=f（2012）+f（1）-1
=f（2011）+2f（1）-2
=f（2010）+3f（1）-3
=…
=2013f（1）-2012，则2013f（1）-2012=2014，
∴f（1）=2，
∴3=f（1）+f（1）-1=f（2），
∴f（x²-ax-3）＜3对任意x∈（-1，1）恒成立，即f（x²-ax-3）＜f（2）对任意x∈（-1，1）恒成立，
又f（x）在R上递增，
∴x²-ax-3＜2对任意x∈（-1，1）恒成立，即x²-ax-5＜0对任意x∈（-1，1）恒成立，
则有

(?1)2?a(?1)?5≤0 12?a?1?5≤0

，即

a?4≤0 ?a?4≤0

，解得-4≤a≤4，
故答案为：[-4，4]．