Question

已知函数f（x）＝ax－a/x－2lnx（a＞0），若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围

Answer 1

导数f'(x)=a+a/x^2-2/x=(ax^2-2x+a)/x^2
若要f(x)在其定义域内为单调函数，则需使f'(x)≥0或f'(x)≤0恒成立
1)若f'(x)≥0恒成立，则有ax^2-2x+a≥0恒成立；
对曲线y=ax^2-2x+a，因a>0，故开口向上；
当△=4-4a^2=4(1-a^2)≤0时，y≥0恒成立，此时1≤a^2，解得a≥1
当△=4-4a^2=4(1-a^2)>0时，即0<a<1时，y与x轴有两个交点，y>0不恒成立，故此解舍弃
2)若f'(x)≤0恒成立，则有ax^2-2x+a≤0恒成立；
因曲线y=ax^2-2x+a (a>0) 开口向上，故y≤0不可能恒成立，故f'(x)≤0不恒成立
综上所述，欲使f(x)为单调函数，仅当f'(x)≥0时成立，此时a≥1

Answer 2

f'(x)=a+a/x^2-2/x=(ax^2-2x+a)/x^2
若要f(x)在其定义域内为单调函数，则需使f'(x)≥0或f'(x)≤0恒成立
1)若f'(x)≥0恒成立，则ax^2-2x+a≥0恒成立；
对曲线y=ax^2-2x+a，因a>0，故开口向上；
当△=4-4a^2=4(1-a^2)≤0时，y≥0恒成立，此时1≤a^2，解得a≥1或a≤-1
因为a>0 所以舍去a≤-1 此时a≥1
2)若f'(x)≤0恒成立，则ax^2-2x+a≤0恒成立；
由题a>0开口向上，故y≤0不可能恒成立，故f'(x)≤0不成立,舍去
综上所述，欲使f(x)为单调函数，仅当f'(x)≥0时成立，此时a≥1