Question

解分解因式（要过程） 1.(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc 2.2(a+b)(a+c)(b+c)+abc

大家帮帮忙吧

Answer 1

先说一点储备知识：

1）因式分解定理：
如果x=a时，多项式 b•x^n+c•x^(n-1)+d•x^(n-2)+……+mx+n的值为0，那么(x-a)是该多项式的一个因式。

当然 含有多个字母的式子 也同样成立，因为你可以把一个字母看做主元，其他字母看做常数，
比如x³+x²y+y²x+y³=x³+y•x²+y²•x+y³，其中y•x²的y，y²•x的y²，y³就可看做常数

x³+x²y+y²x+y³取x=-y代入
等于 –y³+y³-y³+y³=0，所以x+y就是其一个因式，

2）对称多项式：
一个含有多个字母的多项式，将其中任意两个字母对调，仍与原多项式一样，那么这个多项式是对称多项式。

比如：（a+b+c）³-a³-b³-c³
把a与b对调得 (b+a+c)³-b³-a³-c³与原多项式一样，
所以（a+b+c）³-a³-b³-c³是对称多项式

而对于对称多项式 ，如果已知它含有一个低次数的因式，那么它必含有 相同类型其他因式。

比如已知（a+b+c）³-a³-b³-c³有因式(a+b)
与a+b类型相同的因式有b+c，a+c
所以（a+b+c）³-a³-b³-c³有因式a+b ，b+c，a+c

【因为（a+b+c）³-a³-b³-c³是三次式，(a+b)(b+c)(a+c)已满三次
所以设（a+b+c）³-a³-b³-c³=k(a+b)(b+c)(a+c)
取a=-1，b=0，c=2代入
左边=1³-(-1)³-0³-2³=-6
右边=k×(-1)×2×1= -2k
所以 -6=-2k，k=3

所以（a+b+c）³-a³-b³-c³=3(a+b)(b+c)(a+c)
（对称式一般用待定系数法分解）】

再回到你的题目，
1）（a+b+c)(ab+bc+ac)-abc
很显然，这是一个对称式
取a=-b代入
得（a+b+c)(ab+bc+ac)-abc
=(-b+b+c)(-b²+bc-bc)+b²c
=c(-b²)+b²c
=0
所以（a+b+c)(ab+bc+ac)-abc有因式a+b，
同样的，也有相同类型的因式，b+c，a+c

设（a+b+c)(ab+bc+ac)-abc=k(a+b)(a+c)(b+c)
取a=1，b=1，c=1代入
左边=3×3-1=8
右边=k×2×2×2=8k
所以 k=1
即 (a+b+c)(ab+bc+ac)-abc=(a+b)(a+c)(b+c)

2）(a+b)(a+c)(b+c)+abc
很显然这也是一个对称式
取c= -a-b代入
得 (a+b)(a+c)(b+c)+abc
=(a+b)(a-a-b)(b-a-b)-ab(a+b)
=ab(a+b)-ab(a+b)
=0
所以 a+b+c是(a+b)(a+c)(b+c)+abc的一个因式

根据其特点，设(a+b)(a+c)(b+c)+abc=(a+b+c)[k(a²+b²+c²)+m(ab+bc+ac)]
把a=1，b=1，c=1代入
左边=2×2×2+1=9
右边=3×(3k+3m)
得 k+m=1

把a=0，b=0，c=1代入
左边=0×1×1+0=0
右边=1×k
得 k=0
解得，k=0，m=1
所以 (a+b)(a+c)(b+c)+abc=(a+b+c) (ab+bc+ac)

【也可参考一下我的其他回答：http://zhidao.baidu.com/question/168900043.html】
【希望对你有帮助】

追问

太深奥了 ！！！ 能否 变为初中方法？？ 简单易懂 非常感谢~

追答

(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc
=(a²b+abc+a²c)+(ab²+b²c+abc)+(abc+bc²+ac²)-abc
=a²b+a²c+ab²+b²c+bc²+ac²+2abc
=(ab²+ac²+2abc)+(a²b+a²c)+(b²c+bc²)
=a(b+c)²+a²(b+c)+bc(b+c)
=(b+c)[(ab+ac)+a²+bc]
=(b+c)[(a²+ab)+(ac+bc)]
=(b+c)[a(a+b)+c(a+b)]
=(b+c)(a+c)(a+b)

(a+b)(a+c)(b+c)+abc
有上面的结论可以知道：
原式=【(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc】+abc
=(a+b+c)(ab+bc+ac)

【话说回来：前面的方法也只不过是初二竞赛的内容，而且更有普遍性，也很容易理解，多学一点也没坏处。】

Answer 2

(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc
=a^2b+abc+a^2c+ab^2+b^2c+abc+abc+bc^2+ac^2-abc
=a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+3abc-abc
=a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+2abc
=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+2abc
(a+b)(a+c)(b+c)+abc
=(a^2+ac+ab+bc)(b+c)+abc
=a^2b+a^2c+abc+ac^2+ab^2+abc+b^2c+bc^2+abc
=a^2b+a^2c+ac^2+ab^2+b^2c+bc^2+3abc
=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+3abc

追问

你分解完没？？

追答

这个答案不满意？