Question

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D在AB上运动，∠CDE＝45°，DE与CB交与点E，若BD＝x,CE等于y。

(1)求y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
(2)若△CDE为等腰三角形，求x的值。

Answer 1

（1）因为∠ACB=90°，AC=BC=2
所以△ABC是等腰直角三角形，AB=2√2
所以∠B=∠A=45°
因为∠CDE=45°
所以∠ADC+∠EDB=135°
因为∠A=45°
所以∠ACD+∠ADC=135°
所以∠EDB=∠ACD
又因为∠B=∠A
所以△ACD∽△BDE
所以AC/BD=AD/BE
所以2/x=(2√2-x)/(2-y)
所以y=(1/2)×x^2-√2x+2（0<x<2√2）
（2）若△CDE是等腰三角形，则需分CD=DE，CD=CE，DE=CE三种情况讨论
①当CD=DE时
因为∠EDB=∠ACD，∠B=∠A，CD=DE
所以△ACD≌△BDE
所以BD=AC=2，即此时x=2
②当CD=CE时
∠CED=∠CDE=45°
所以∠DCE=90°，与题意不符
所以这种情况不存在
③当DE=CE时
∠ECD=∠CDE=45°
所以∠ACD=45°，即CD是∠ACB的平分线
又因为AC=BC
所以D是AB的中点（三线合一）
所以BD=(1/2)×AB=√2，即此时x=√2
综上可知x=√2或2

Answer 2

没图，把图给我我帮你做~

追问

。。

Answer 3

（1）因为∠ACB=90°，AC=BC=2
所以△ABC是等腰直角三角形（两边相等的直角三角形是等腰直角三角形）
AB=2√2（直角三角形勾股定理）
所以∠B=∠A=45°（等腰直角三角形的底角等于45°）
因为∠CDE=45°
所以∠ADC+∠EDB=135°
因为∠A=45°
所以∠ACD+∠ADC=135°
所以∠EDB=∠ACD
又因为∠B=∠A
所以△ACD∽△BDE（两角对应相等的三角形相似）
所以AC/BD=AD/BE（相似三角形的三边对应成比例）
所以2/x=(2√2-x)/(2-y)
所以y=(1/2)×x^2-√2x+2（0<x<2√2）
（2）若△CDE是等腰三角形，则需分CD=DE，CD=CE，DE=CE三种情况讨论
①当CD=DE时
因为∠EDB=∠ACD，∠B=∠A，CD=DE
所以△ACD≌△BDE（两角及其中一角对应的边相等的两个三角形全等）
所以BD=AC=2，即此时x=2（全等三角形的对应边相等）
②当CD=CE时
∠CED=∠CDE=45°（等边对等角）
所以∠DCE=90°，与题意不符
所以这种情况不存在
③当DE=CE时
∠ECD=∠CDE=45°（等边对等角）
所以∠ACD=45°，即CD是∠ACB的平分线（角平分线的定义）
又因为AC=BC
所以D是AB的中点（三线合一）
所以BD=(1/2)×AB=√2，即此时x=√2
综上可知x=√2或2