谁能给我详细的讲讲二次函数
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二次函数的图象和性质2010-11-20 14:341、二次函数y=ax2＋c的图象与性质
(1)抛物线y=ax2＋c的形状由a决定，位置由c决定．
(2)二次函数y=ax2＋c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴．
当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时庆行，y最小值=c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大．
当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c．在y轴左侧，y随x的增大而增大；在y轴右侧，y随x增大而减小．
(3)抛物线y=ax2＋c与y=ax2的关系．
抛物线y=ax2＋c与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动．
2、二次函数y=a(x－h)2的图象与性质
①抛物线y=a(x－h)2的对称轴为x=h，顶点为(h，0)．
②y=a(x－h)2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到．
③把y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位，即得y=a(x－h)2的图象，由实践可知，当h＞0时，向右平移，当h＜0时，向左平移．
3、二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质
一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k有如下特点：
①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
②对称轴是平行于y轴的直线x=h；
③顶点坐标是(h，k)．
二次函数y=a(x－h)2＋k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位而得到．
4、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
即可化为y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c与y=a(x－h)2＋k的图象具有一致性，即y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线．
当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点)，当时，，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
当a＜0时，抛物线开口向下，信橡有最高点(即顶点)，当时，．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
由于y=ax2＋bx＋c可化为的形式，所以抛物线y=ax2＋bx＋c可由抛物线y=ax2平移得到：
第一步：若时，把y=ax2的图象向右平移个单位；若时，把y=ax2的图象向左平移个单位；
第二步：若时，再把第一次平移后的图象向上平移个单位；若时，再把第一步平移后的图象向下平移个单位．
所以抛物线y=ax2＋bx＋c与抛物线y=ax2的形状滑差旁相同，只是位置不同．
5、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的画法
（1）先确定二次函数的对称轴，在对称轴的左右两侧取自变量x的值，通过列表、描点，用光滑曲线连接得到图象．
（2）通过二次函数的图象进行平移得到抛物线y=ax2＋bx＋c的图象．
6、抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与系数a、b、c的关系
a、b、c的代数式
作用
字母的符号
图象的特征
a
1．决定抛物线的开口方向；
2．决定增减性
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
c
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)
c＞0
交点在x轴上方
c=0
抛物线过原点
c＜0
交点在x轴下方
决定对称轴的位置，对称轴是
ab＞0
对称轴在y轴左侧
ab＜0
对称轴在y轴右侧
二、重难点知识讲解
1、二次函数的三种形式：
（1）一般式：y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)；
（2）顶点式：y=a(x－h)2＋k，（h，k）为函数图象的顶点；
（3）交点式：y=a(x－x1)(x－x2)，(x1，0) ， (x2，0)为函数图象与x轴的交点.
2、图象的变换
二次函数的平移规律：任意抛物线y=ax2＋bx＋c都可转化为y=a（x－h）2＋k，便可以由y=ax2适当平移得到．
y=ax2
h＞0向右平移个单位
y=a(x－h)2
k＞0向上平移个单位长度
y=a(x－h)2＋k
h＜0向左平移个单位
k＜0向下平移个单位长度
3、根据已知条件正确求出二次函数的关系式
用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式．如果知道函数图象与x轴的交点，那么选择交点式；如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式；如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式．
三、典型例题讲解
例1、已知抛物线，求：
(1)函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2)作出草图；
(3)根据图象指出函数的最大值或最小值是多少？
分析：
解本题的关键是作出已知函数的图象，再根据图象探讨相关性质，这比凭空思考，或单纯的计算更为形象、直观．
解：
(1)．∵，∴抛物线开口向上．
抛物线的对称轴是x=－6，顶点坐标为(－6，－8)．
(2)列表，描点作出图象略．
或由先作出的图象，再由抛物线向左平移6个单位，再向下平移8个单位得到．草图如图所示．
(3)当x=－6时，y有最小值，最小值是－8．
反思：
画二次函数y=ax2＋bx＋c的图象往往通过把解析式配方得到，先确定对称轴和顶点，再在对称轴的两边找出关于对称轴不少于两组的对应点，最后利用平滑的曲线把这些点连起来．
例2、将抛物线y＝2x2如何平移可得到抛物线y＝2(x－4)2－1（ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
分析：
根据抛物线y＝ax2和y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的平移关系，可以得出结论．
解：
∵－h＝－4<0，∴顶点向右平移4个单位．
∵k＝－1<0，∴顶点向下平移1个单位．
∴抛物线y＝2（x－4）2－1是由抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向下平移1个单位而得到的．
答案：D
例3、一个二次函数，具有下列性质：①它的图象不经过第三象限；②图象经过点(－1，1)；③当x＞－1时，函数值y随自变量x增大而增大，试写出一个满足上述三条件性质的函数关系式：__________．
分析：
此题中的抛物线表达式符合y=a(x＋1)2＋k的形式，再根据题目中的条件画出函数图象，依据数形结合，易求解．
由①知，抛物线开口方向向上，a＞0，取a=1，由③知可令此抛物线的对称轴为x=－1，因此可设y=(x＋1)2＋k，将点(－1，1)代入，得k=1．
∴y=(x＋1)2＋1．
答案：
y=2(x＋1)2＋1，等
反思：
解此类问题的关键是恰当地设出表达式，再根据限制条件作答．
例4、二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是（ ）
分析：
此类题目可从选择答案入手，根据图象确定其中字母的符号，看结果是否一致，将不一致的排除掉．
解：
A中从抛物线看a＜0，c＞0，从直线看a＞0，c＜0，故A错；同理B中，c＜0与c＞0矛盾，B错；C中a＜0，c＞0，一次函数a＜0，c＞0相一致，故C正确；D中a＞0，与a＜0矛盾，故D错误．选C.
例5、求满足下列条件的二次函数的解析式
(1)图象经过A(－1，3)、B(1，3)、C(2，6)；
(2)图象经过A(－1，0)、B(3，0)，函数有最小值－8；
(3)图象顶点坐标是(－1，9)，与x轴两交点间的距离是6.
分析：
此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式，列出方程或方程组来求解.
(1)解：
设解析式为y=ax2＋bx＋c，把A(－1，3)、B(1，3)、C(2，6)各点代入上式得
解得
∴解析式为y=x2＋2.
(2)解法1：由A(－1，0)、B(3，0)得抛物线对称轴为x=1，所以顶点为(1，－8).
设解析式为y=a(x－h)2＋k，即y=a(x－1)2－8.
把x=－1，y=0代入上式得0=a(－2)2－8，∴a=2.
即解析式为y=2(x－1)2－8，即y=2x2－4x－6.
解法2:设解析式为y=a(x＋1)(x－3)，确定顶点为(1，－8)，
把x=1，y=－8 代入上式得－8=a(1＋1)(1－3).
解得a=2，
∴解析式为y=2x2－4x－6.
解法3：∵图象过A(－1，0)，B(3，0)两点，可设解析式为:y=a(x＋1)(x－3)=ax2－2ax－3a.
∵函数有最小值－8.
∴=－8.
又∵a≠0，∴a=2.
∴解析式为y=2(x＋1)(x－3)=2x2－4x－6.
(3)解:由顶点坐标(－1，9)可知抛物线对称轴方程是x=－1，
又∵图象与x轴两交点的距离为6，即AB=6.
由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(－4，0)，B(2，0)，
设出交点式y=a(x－x1)·(x－x2)，
将A(－4，0)，B(2，0)代入上式求得函数解析式为y=－x2－2x＋8.
点评：
一般地，已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x，y的值)可设表达式为y=ax2＋bx＋c，组成三元一次方程组来求解； 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值，可选用y=a(x－h)2＋k来求解；若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标，则一般设解析式为y=a(x－x1)(x－x2).
(1)抛物线y=ax2＋c的形状由a决定，位置由c决定．
(2)二次函数y=ax2＋c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴．
当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时庆行，y最小值=c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大．
当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c．在y轴左侧，y随x的增大而增大；在y轴右侧，y随x增大而减小．
(3)抛物线y=ax2＋c与y=ax2的关系．
抛物线y=ax2＋c与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动．
2、二次函数y=a(x－h)2的图象与性质
①抛物线y=a(x－h)2的对称轴为x=h，顶点为(h，0)．
②y=a(x－h)2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到．
③把y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位，即得y=a(x－h)2的图象，由实践可知，当h＞0时，向右平移，当h＜0时，向左平移．
3、二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质
一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k有如下特点：
①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
②对称轴是平行于y轴的直线x=h；
③顶点坐标是(h，k)．
二次函数y=a(x－h)2＋k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位而得到．
4、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
即可化为y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c与y=a(x－h)2＋k的图象具有一致性，即y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线．
当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点)，当时，，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
当a＜0时，抛物线开口向下，信橡有最高点(即顶点)，当时，．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
由于y=ax2＋bx＋c可化为的形式，所以抛物线y=ax2＋bx＋c可由抛物线y=ax2平移得到：
第一步：若时，把y=ax2的图象向右平移个单位；若时，把y=ax2的图象向左平移个单位；
第二步：若时，再把第一次平移后的图象向上平移个单位；若时，再把第一步平移后的图象向下平移个单位．
所以抛物线y=ax2＋bx＋c与抛物线y=ax2的形状滑差旁相同，只是位置不同．
5、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的画法
（1）先确定二次函数的对称轴，在对称轴的左右两侧取自变量x的值，通过列表、描点，用光滑曲线连接得到图象．
（2）通过二次函数的图象进行平移得到抛物线y=ax2＋bx＋c的图象．
6、抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与系数a、b、c的关系
a、b、c的代数式
作用
字母的符号
图象的特征
a
1．决定抛物线的开口方向；
2．决定增减性
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
c
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)
c＞0
交点在x轴上方
c=0
抛物线过原点
c＜0
交点在x轴下方
决定对称轴的位置，对称轴是
ab＞0
对称轴在y轴左侧
ab＜0
对称轴在y轴右侧
二、重难点知识讲解
1、二次函数的三种形式：
（1）一般式：y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)；
（2）顶点式：y=a(x－h)2＋k，（h，k）为函数图象的顶点；
（3）交点式：y=a(x－x1)(x－x2)，(x1，0) ， (x2，0)为函数图象与x轴的交点.
2、图象的变换
二次函数的平移规律：任意抛物线y=ax2＋bx＋c都可转化为y=a（x－h）2＋k，便可以由y=ax2适当平移得到．
y=ax2
h＞0向右平移个单位
y=a(x－h)2
k＞0向上平移个单位长度
y=a(x－h)2＋k
h＜0向左平移个单位
k＜0向下平移个单位长度
3、根据已知条件正确求出二次函数的关系式
用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式．如果知道函数图象与x轴的交点，那么选择交点式；如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式；如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式．
三、典型例题讲解
例1、已知抛物线，求：
(1)函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2)作出草图；
(3)根据图象指出函数的最大值或最小值是多少？
分析：
解本题的关键是作出已知函数的图象，再根据图象探讨相关性质，这比凭空思考，或单纯的计算更为形象、直观．
解：
(1)．∵，∴抛物线开口向上．
抛物线的对称轴是x=－6，顶点坐标为(－6，－8)．
(2)列表，描点作出图象略．
或由先作出的图象，再由抛物线向左平移6个单位，再向下平移8个单位得到．草图如图所示．
(3)当x=－6时，y有最小值，最小值是－8．
反思：
画二次函数y=ax2＋bx＋c的图象往往通过把解析式配方得到，先确定对称轴和顶点，再在对称轴的两边找出关于对称轴不少于两组的对应点，最后利用平滑的曲线把这些点连起来．
例2、将抛物线y＝2x2如何平移可得到抛物线y＝2(x－4)2－1（ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
分析：
根据抛物线y＝ax2和y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的平移关系，可以得出结论．
解：
∵－h＝－4<0，∴顶点向右平移4个单位．
∵k＝－1<0，∴顶点向下平移1个单位．
∴抛物线y＝2（x－4）2－1是由抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向下平移1个单位而得到的．
答案：D
例3、一个二次函数，具有下列性质：①它的图象不经过第三象限；②图象经过点(－1，1)；③当x＞－1时，函数值y随自变量x增大而增大，试写出一个满足上述三条件性质的函数关系式：__________．
分析：
此题中的抛物线表达式符合y=a(x＋1)2＋k的形式，再根据题目中的条件画出函数图象，依据数形结合，易求解．
由①知，抛物线开口方向向上，a＞0，取a=1，由③知可令此抛物线的对称轴为x=－1，因此可设y=(x＋1)2＋k，将点(－1，1)代入，得k=1．
∴y=(x＋1)2＋1．
答案：
y=2(x＋1)2＋1，等
反思：
解此类问题的关键是恰当地设出表达式，再根据限制条件作答．
例4、二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是（ ）
分析：
此类题目可从选择答案入手，根据图象确定其中字母的符号，看结果是否一致，将不一致的排除掉．
解：
A中从抛物线看a＜0，c＞0，从直线看a＞0，c＜0，故A错；同理B中，c＜0与c＞0矛盾，B错；C中a＜0，c＞0，一次函数a＜0，c＞0相一致，故C正确；D中a＞0，与a＜0矛盾，故D错误．选C.
例5、求满足下列条件的二次函数的解析式
(1)图象经过A(－1，3)、B(1，3)、C(2，6)；
(2)图象经过A(－1，0)、B(3，0)，函数有最小值－8；
(3)图象顶点坐标是(－1，9)，与x轴两交点间的距离是6.
分析：
此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式，列出方程或方程组来求解.
(1)解：
设解析式为y=ax2＋bx＋c，把A(－1，3)、B(1，3)、C(2，6)各点代入上式得
解得
∴解析式为y=x2＋2.
(2)解法1：由A(－1，0)、B(3，0)得抛物线对称轴为x=1，所以顶点为(1，－8).
设解析式为y=a(x－h)2＋k，即y=a(x－1)2－8.
把x=－1，y=0代入上式得0=a(－2)2－8，∴a=2.
即解析式为y=2(x－1)2－8，即y=2x2－4x－6.
解法2:设解析式为y=a(x＋1)(x－3)，确定顶点为(1，－8)，
把x=1，y=－8 代入上式得－8=a(1＋1)(1－3).
解得a=2，
∴解析式为y=2x2－4x－6.
解法3：∵图象过A(－1，0)，B(3，0)两点，可设解析式为:y=a(x＋1)(x－3)=ax2－2ax－3a.
∵函数有最小值－8.
∴=－8.
又∵a≠0，∴a=2.
∴解析式为y=2(x＋1)(x－3)=2x2－4x－6.
(3)解:由顶点坐标(－1，9)可知抛物线对称轴方程是x=－1，
又∵图象与x轴两交点的距离为6，即AB=6.
由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(－4，0)，B(2，0)，
设出交点式y=a(x－x1)·(x－x2)，
将A(－4，0)，B(2，0)代入上式求得函数解析式为y=－x2－2x＋8.
点评：
一般地，已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x，y的值)可设表达式为y=ax2＋bx＋c，组成三元一次方程组来求解； 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值，可选用y=a(x－h)2＋k来求解；若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标，则一般设解析式为y=a(x－x1)(x－x2).
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