Question

线性代数向量证明题

设α1，α2，α3，α4线性相关，但其中任意三个向量都线性无关，证明：必存在一组全不为零的数k1,k2,k3,k4，使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0

Answer 1

证: 由已知, α1，α2，α3，α4线性相关
所以存在一组不全为0的数k1,k2,k3,k4，
使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0.
(下证k1,k2,k3,k4全不为0)
假设k1=0.
则 k2α2+k3α3+k4α4=0
由已知 α1,α2,α3,α4其中任意三个向量都线性无关
所以 α2,α3,α4 线性无关.
所以 k2=k3=k4=0
这与k1,k2,k3,k4不全为0矛盾.
故 k1不等于0.
同理可证 k2,k3,k4不等于0
故k1,k2,k3,k4全不为0.

Answer 2

反证法. 假如不存在一组全不为零的数k1,k2,k3,k4，使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，这就是说只要k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0就意味着k1=k2=k3=k4=0, 这就是说α1，α2，α3，α4线性无关. 这与条件矛盾, 因此结论成立.

Answer 3

反证法：已知α1，α2，α3，α4线性相关，存在一组不全为零的数k1,k2,k3,k4，使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，假定k1=0，则k2α2+k3α3+k4α4=0，但是α2，α3，α4线性无关，于是k2=k3=k4=0，故此k1=k2=k3=k4=0，与k1,k2,k3,k4不全为零矛盾