Question

请教两道高一数学题

1.已知关于x的不等式组1≤kx^2+2x+k≤2有唯一实数解，则实数k的取值集合是？
2.在R上定义运算：x*y=x（1-y），若不等式（x-y）*（x+y）<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是？

求过程，说一下思路也好~
感激不尽

Answer 1

1、设f(x)=kx²＋2x＋k
①若k=0，则此时不是有唯一解；
②若k≠0，则f(x)是二次函数，要使得有唯一解，则：
开口向上且f(x)的最小值是2或者开口向下且f(x)的最大值是1，只有此时才能有唯一解；

2、按照*的规定，有：(x－y)*(x＋y)=(x－y)(1－x－y)=－x²＋x＋y²－y<1 即：
关于x的不等式：x²－x－y²＋y＋1>0对一切实数x恒成立，则只需要其判别式大于0 即可。
判别式=(－1)²－4×1×(－y²＋y＋1)<0，求出y的范围。

Answer 2

kx^2+2x+k-1>=0
b^-4ac>=0
4-4k(k-1)>=0
-根号2<=k<=根号2
kx^2+2x+k-2<=0
b^2-4ac>=0(有实根）
-根号3<=k<=根号3
所以k[根号2，-根号2]

追问

答案是{1+根号2,（1-根号5）/2}...

Answer 3

1.算出kx^2+2x+k<1 kx^2+2x+k>2的解集，再求出它的补集
2.（x-y）*（x+y）=（x-y）（1-x-y）
=x-y-x^2+y^2
=y^2-y+1/4-（x^2-x+1/4）
=(y-1/2)^2-(x-1/2)^2
<1
所以（y-1/2）^2<1+（x-1/2）^2<1
1/2-1<y<1/2+1