Question

数集A满足:若a属于A,a≠1,则1-a分之一属于A。证明：集合A中至少有三个不同的元素 要证明

Answer 1

a∈A

b=1/(1-a)∈A

若a=1/(1-a), 即a-a^2=1, a^2-a+1=0, 此方程无实根。

因此b与a不相同

则c=1/(1-b)∈A

上式化简： c=(1-a)/(1-a-1)=(a-1)/a=1-(1/a)

同上，c与b不同

若c=a,则1-1/a=a,得：a^2-a+1=0, 此无方程无实根，因此c与a不等。

故集合至少包含a,b,c这三个元素

除法的法则：

整数a除以整数b （ b≠0 ） ，除得的商正好是整数而没有余数我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a ）除尽的意义甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数而余数也为0时，我们就说甲数能被乙数除尽， （或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自然数，也可以是小数（乙数不能为0）。

1、能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8。

2、能被5整除的数的特征：个位上是0或5。

3、能被3整除的数的特征： 一个数的各个数位上的数之和能被3整除，这个数就能被3整除。

Answer 2

如果只有两个元素, 设为a与1/(1-a), 由于1/(1-a)属于A, 所以1/[1-1/(1-a)]=(a-1)/a属于A, 则(a-1)/a=1/(1-a)或者a, 若(a-1)/a=1/(1-a), 即a^2-a+1=0, 但方程没有实数解, 即这样的a是不存在的; 若(a-1)/a=a即a^2-a+1=0, 同理这样的a不存在. 因此, 最初的假设不成立. 所以A中至少有三个不同的元素.
考虑的不全面, 还是及时雨全面！

Answer 3

解：
因为A是数集，所以A不为空

由题知，
a∈A,a≠1
则1/(1-a)∈A

若A为单元素集{a}
则a=1/(1-a) ，即a²-a+1=0，无解
所以A不为单元素集

若A为双元素集{a,1/(1-a)}
则由1/(1-a)∈A，1/(1-a)≠1
知(-1+a)/a∈A
即a=(-1+a)/a，即a²-a+1=0，无解
所以，A不为双元素集

若A为三元素集
A{a,1/(1-a),(-1+a)/a}
由(-1+a)/a∈A，(-1+a)/a≠1
知a∈A,成立
如{2,-1,1/2}

综上所述，集合A中至少有三个不同的元素