Question

如图：在△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，垂足为点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F ，EF

如图：在△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，垂足为点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F ，EF=10/3，∠B正切值为1/2。（1）求证△BDF∽△DCF，（2）求BC的长

Answer 1

解：
1）因为CD⊥AB，垂足为点D，E是AC的中点
所以DE是直角三角形斜边AC的中线，
所以DE=AC/2=EC
所以∠EDC=∠ECD,
所以∠EDC+∠CDB=∠ECD+∠ECF
即∠FCD=∠FDB
又∠F为公共角
所以△BDF∽△DCF
2）因为tanB=1/2,
所以CD/BD=1/2
由△BDF∽△DCF得BF/DF=BD/DC=2,
所以BF=2DF
设BC=2a，则AC=a，CE=DE=a/2
在直角三角形ECF中，FC=√[（10/3）^2-(a/2)^2]
BF=√[（10/3）^2-(a/2)^2]+2a
DF=EF+DE=10/3+a/2
由BF=2DF,得，
√[（10/3）^2-(a/2)^2]+2a=2（3/10+a/2）
解得a1=4,a2=20/3
所以BC=4,20/3

Answer 2

v