Question

P是△ABC内一点，连AP,BP,CP并延长交对边于F,D,E,已知 PA=x，PB=y，PC=z，且x+y+z=22，PF=PD=PE=3，则xyz=

Answer 1

过P作PG⊥BC交BC于G，再过A作AH⊥BC交BC于H。则有：PG∥AH，∴△PFG∽△AFH，
∴PF/AF＝PG/AH。

∵△PBC和△ABC是同底不等高的三角形，　　又PG、AH分别是△PBC、△ABC中BC上的高，
∴△PBC的面积/△ABC的面积＝PG/AH，结合PF/AF＝PG/AH，得：
△PBC的面积/△ABC的面积＝PF/AF；
同理，可证得：△PAC的面积/△BAC的面积＝PD/BD；△PAB的面积/△CAB的面积＝PE/CE。
∴PF/AF＋PD/BD＋PE/CE＝（△PBC的面积＋△PAC的面积＋△PAB的面积）/△ABC的面积，
∴PF/AF＋PD/BD＋PE/CE＝1。

∵PF＝PD＝PE＝3，AF＝PA＋PF＝x＋3，BD＝PB＋PD＝y＋3，CE＝PC＋PE＝z＋3，
∴3/（x＋3）＋3/（y＋3）＋3/（z＋3）＝1。
由x＋y＋z＝22，得：x＋y＝22－z，y＋z＝22－x，x＋z＝22－y。

∴由3/（x＋3）＋3/（y＋3）＋3/（z＋3）＝1去分母，得：
（x＋3）（y＋3）（z＋3）＝3（y＋3）（z＋3）＋3（x＋3）（z＋3）＋3（x＋3）（y＋3）
∴［xy＋3（x＋y）＋9］（z＋3）
　　＝3［yz＋3（y＋z）＋9］＋3［xz＋3（x＋z）＋9］＋3［xy＋3（x＋y）＋9］
∴xyz＋3xy＋3（x＋y）z＋9（x＋y）＋9z＋27
　　＝3［yz＋3（22－x）＋9］＋3［xz＋3（22－y）＋9］＋3［xy＋3（22－z）＋9］
∴xyz＋3（xy＋xz＋yz）＋9（x＋y＋z）＋27
　　＝3（xy＋xz＋yz）＋9［（22－x）＋（22－y）＋（22－z）］＋3×27
∴xyz＋9×22＋27＝9［22×3－（x＋y＋z）］＋3×27
∴xyz＋9×22＝9（22×3－22）＋2×27＝9×22×2＋2×27
∴xyz＝9×22＋2×27＝198＋54＝252。