Question

P为△ABC内部任意一点,设AP,BP,CP分别交BC,CA,AB于点D,E,F,求证:S△DEF=(2PD*PE*PF/PA*PB*PC)*S△ABC

Answer 1

这是一道计算证明题。
容易看出问题的关键是AD,BE,CF共点于P，则可以考虑使用梅涅劳斯定理和塞瓦定理。
记 AF/FB=x, BD/DC=y, CE/AE=z, 则由塞瓦定理知：xyz=1
考虑FPC在△ABD三边上，由梅涅劳斯定理：(AF/BF)(BC/CD)(PD/AP)=1,
进一步求出 PD/AP=1/(x(1+z))
同理：PE/BP=1/(z(1+y)), FP/PC=1/(y(1+x))
从而有：(PD*PE*PF)/(PA*PB*PC)=1/((1+x)(1+y)(1+z))
另一方面，S△DEF/S△ABC=1-S△AEF/S△ABC-S△BDF/S△ABC-S△CDE/S△ABC
=1-x/((1+x)(1+y))-z/((1+x)(1+z))-y/((1+z)(1+y))
=2/((1+x)(1+y)(1+z))
从而命题得证。