Question

AB=AC,P为BC上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,CD⊥AB于D,求证:PE+PF=CD

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Answer 1

证明：

      作辅助线 PM⊥CD 于M ==> ∠PMC = 90°

           ∵  CD⊥AB

           ∴   PM//AB ==> ∠MPC = ∠ABC；

                 AB=AC ==> ∠ABC = ∠ACB = ∠FCP

           ∴  ∠MPC =∠FCP

                 PF⊥AC ==> ∠CFP = 90°

           ∴  ∠PMC = ∠CFP

                 PC = CP

           ∴  ΔMPC ≌ ΔFCP ==> CM = PF；

        PE⊥AB，CD⊥AB，PM⊥CD ==> 矩形DEPM ==> PE =MD

           ∴ PE+PF= MD + CM = CD

证毕

Answer 2

本题利用面积法最简单!
解:连接AP,设AB=AC=m. (m>0).
∵S⊿ABP+S⊿ACP=S⊿ABC. (S⊿ABP表示三角形ABP的面积,其他同理)
即(1/2)AB*PE+(1/2)AC*PF=(1/2)AB*CD.
(1/2)m*PE+(1/2)m*PF=(1/2)m*CD.
∴PE+PF=CD. ----------------------------即上式两边同除以(1/2)m!

Answer 3

图不画了，直接推理如下：
做PG//AB 交CD于 G ，∵CD⊥AB , PE⊥AB ∴PG⊥CD 且GD=PE
∵ PG//AB ∴ ∠GPC=∠B=∠C PC=PC 直角△PCG≌直角△PFC
∴PF=GC 故有 DC=CG+GD=PF+PE,

Answer 4

作PG⊥CD交CD于G,则PE=DG CD⊥AB
由PE⊥AB,CD⊥AB,所以PE//CD, ∠GCP=∠EPB
AB=AC,所以∠ABC=∠ACB
∠FPC+∠ACP=∠FPC+∠ABP=90
CD⊥AB可得∠GCP+∠ABC=90
所以∠FPC=∠GCP, ∠PFC=∠CGP=90,PC=CP
所以三角形PFC与三角形CGP全等,有CG=PF
PE=DG
所以CD=CG+DG=PF+PE