Question

设函数f﹙x﹚=﹙ax²+1﹚／﹙bx+c﹚是奇函数﹙a，b，c∈Z﹚，且f﹙1﹚=2，f﹙2﹚＜3.

﹙1﹚求a，b，c的值
﹙2﹚判断函数f﹙x﹚在﹙﹣∞，﹣1﹚上的单调性，并给证明。

Answer 1

已知，
设函数f﹙x﹚=﹙ax²+1﹚／﹙bx+c﹚是奇函数
所以，
f(-x)=(ax²+1)／(-bx+c)=-f(x)=-(ax²+1)／(bx+c)
所以，c=0

而f﹙1﹚=2，f﹙2﹚＜3
所以，f(1)=(a+1)/b=2,f(2)=(4a+1)/2b<3
a+1=2b,4a+1<6b
得4a+1<3a+3,即 a<2
所以，2b-1<2 得 b<3/2
a,b为正整数
所以，a=b=1

(1)a=b=1,c=0

(2)f(x)=(x²+1)/x=x+1/x
对f(x)求导得f'(x)=1-1/x²
当x在(-∞,-1)时，
x²>1,0<1/x²<1
所以f'(x)=1-1/x²>0
即函数f(x)递增

Answer 2

提示：
可以参考下题
设函数f(x)=(ax^2+1)/(bx+c)(a、b、c∈Z)为奇函数，又f(1)=2,f(2)＜3,且f(x)在[1，+∞）上递增
（1）求a、b、c的值
(2)当x＜0时，讨论f(x)的单调性

因为F(-x)=-F(x) ,所以 (ax^2+1)/(-bx+c)=- (ax^2+1)/(bx+c)
即　c= 0 ,所以f(x)=(ax^2+1)/(bx)
因为f(1)=2 ,所以 (a+1)/b =2 ,即 a+1=2b
因为f(2)＜3,且f(x)在[1，+∞）上递增　，所以F(1)＜F(2)＜3
所以2＜(4a+1)/2b ＜3　，即 2＜(4a+1)/(a+1)＜3　，解得：(1/2)＜a＜2
所以　a=1 ,b= 1　，所以 F(x)＝(x^2+1)/x

当x＜0时，设m＜n＜0 ,则
F(m)-F(n)＝ (m^2+1)/m - (n^2+1)/n = (1-mn)(n-m)/mn
当 mn＜1时，F(m)-F(n)＞0 ,F（x)递增
当mn≥1时，F(m)-F(n)≤0 ,F（x)递减

Answer 3

1. c=0，a=1，b=1
2. 单调递增