Question

对于定义域为d的函数y=f（x），若同时满足下列条件

1.f（x）在d内单调递增或单调递减 2.存在区间【a，b】上的值域为【a，b】，把f（x）叫闭函数。
问题:1.求闭函数y=-x^3符合条件2的区间 2.判断f（x）=(3/4)x+1/x（x大于0）是否为闭函数，说明理由 3.判断函数y=k+根号(x+2)是否为闭函数，若是。求出k的取值范围

Answer 1

解：(1)、易得：y=-x^3是[a，b]上的减函数
∴f(a)=-a^3=b
f(b)=-b^3=a
∴f(b)/f(a)=a/b=-b^3/-a^3
∴a/b=±1
又∵－a^3=b，
∴a=-1，b=1
∴所求区间为[－1，1]
(2)、∵f ′(x)=3/4-1/x^2，x∈(0，＋∞)，
令f ′(x)=3/4-1/x^2＞0，得x＞(2/3)√3
∴x＞(2/3)√3时，f(x)为（(2/3)√3 ，＋∞）上的增函数。
令f ′(x)=3/4-1/x^2＜0，得0＜x＜(2/3)√3
∴f(x)为（0，(2/3)√3 ）上的减函数．
∴f(x)不是（0，＋∞）上的单调函数．
∴f(x)不是（0，＋∞）上的闭函数．
(3)、易知f(x)=k+√(x+2)是[－2，＋∞)上的增函数．由√(x+2)≥0，得f(x)≥k (*)
设f(x)=k＋√(x+2)满足条件②的区间是[a，b]
则f(a)=a,f(b)=b，由此可知
方程f(x)=x的两根是a，b，且a≠b
整理方程f(x)=x得
x^2-(2k+1)x+k^2-2=0
△=(2k+1)^2-4(k^2-2)=4k+9
令△＞0，解得k＞-9/4
x1=[(2k+1)-√(4k+9)]/2，x2=[(2k+1)+√(4k+9)]/2
由(*)得x1≥k，解得-9/4≤k≤-2
由√(x+2)≥0得x+2≥0，即x1≥-2，解得k≥-9/4
综上，函数y=k+√(x+2)为闭函数，k的取值范围是-9/4＜k≤-2

追问

f(a)=-a^3=b
f(b)=-b^3=a
怎么来的?

追答

咳咳~让我们重回案发现场.......
首先，俺们可以“目测法”观察出（其实“目测”就是“脑测”，在脑里面想象）：这个y=-x^3是[a，b]上的【减】函数
那么减函数是什么概念呢？就是x越大，f(x)越小；x越小，f(x)越大
所以在区间[a,b](a<b)内，它们的相应得数：大的对应小的→f(a)=b，小的对应大的→(b)=a