Question

如图,四边形ABCD中,AD平行于BC,点E在边CD上,AE平分角DAB,BE平分角ABC,试说明:AD+BC=AB

Answer 1

过E作EF∥BC交AB于F
所以EF∥AD
又因为AE平分角DAB,BE平分角ABC
所以∠CBE=∠ABE,∠DAE=∠BAE①
又因为AD∥EF∥BC
所以∠CBE=∠BEF,∠DAE=∠AEF②
由①②得
∠ABE=∠BEF，∠BAE=∠AEF
即AF=EF,BF=EF
即F为AB中点,AB=2EF③
所以EF为梯形ABCD中位线
即AD+BC=2EF④
由③④得
AD+BC=AB

Answer 2

过E做AD的平行线交AB与F点
因为AE为∠DAB的角平分线，所以∠FAE=∠DAE，又DC∥AB
∠FAE=∠DEA，∠DAE=∠DEA所以三角形ADE为等腰三角形，AD=DE
同理可证，BC=EC
AD+BC=DE+EC=DC,而平行四边形对边相等，DC=AB。所以AD+BC=AB

Answer 3

过E做平行线交AB于F点
AD∥FE，<DAE=<AEF，
AE平分<DAB，所以<DAE=<EAF，所以<AEF=<EAF，所以AF=EF
同样方法可证BF=EF
所以AF=BF，F是AB中点，又EF平行与AD和BC，所以EF是梯形中线，所以2EF=AD+BC
AB=AF+BF=2EF=AD+BC，

Answer 4

因为平行四边形CD∥AB，所以∠DEA=∠EAB
因为AE平分角DAB，所以∠DAE=∠EAB，所以∠DAE=∠DEA，所以AD=AE
同样2个步骤可以证明EC=BC
AB=CD=AE+EC=AD+BC
完了。

追问

我没说是平行四边形！

追答

过E做平行线交AB于F点
AD∥FE，角DAE=角AEF，
AE平分角DAB，所以角DAE=角EAF，所以角AEF=角EAF，所以AF=EF
同样方法可证BF=EF
所以AF=BF，F是AB中点，又EF平行与AD和BC，所以EF是梯形中线，所以2EF=AD+BC
AB=AF+BF=2EF=AD+BC，
得证，ye
刚刚不好意思咯