Question

关于初三数学的一道证明题，望各位大侠予以解决。

如图，在“风车三角形”中，AA‘=BB’=CC‘=2，∠AOB'=∠BOC'=60°。
求证：S△AOB'+S△BOC'+S△COA'＜√3

Answer 1

∠AOB'=∠BOC'=60°，根据对顶角相等，加上一周360°可知，∠A‘OC=60°。这里假定风车三角形始终有三个三角形（O点不与其它端点重合）。
设AO=2x BO=2y CO=2z (0<x,y,z<1)
S△AOB'+S△BOC'+S△COA'=（AO*B'O*sin60°+BO*C'O*sin60°+CO*A'O*sin60°）/2
=√3/4*（AO*B'O+BO*C'O+CO*A'O）
=√3*（x(1-y)+y(1-z)+z(1-x))
以下证明(x(1-y)+y(1-z)+z(1-x))<1。
不失去一般性，可假定1-y=z+p (p是一个正数)。则0<z+p<1。因此，p<1-z。代入上式得
x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=(z+p)x+(1-z-p)(1-z)+z(1-x)
=z+px+(1-z)^2-p(1-z)
<z+(1-z)^2-p(1-z)+p (因为x<1)
由于1-z<1,p越大，上式值越大。所以p取1-z最大。
上式<z+1-z=1
至此命题得证。

Answer 2

已知两角为60°，可以证明A'OC为60°
把AA'BB'CC'平移后组成一个边长为2的等边三角形。此时最大面积为根号3.

Answer 3

娃儿啊......

Answer 4

这种题目怎么能不会

追问

你这回答真的很欠扁。
找事？