Question

已知关于x的方程x2+(2k－1)x+(k－2)(k+1)=0……①和kx2+2(k－2)x+k－3=0……②.

⑴求证：方程①总有两个不相等的实数根；
⑵已知方程②有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；
⑶如果方程②的两个不相等实数根α、β的倒数和等于方程①的一个根，求k的值.

Answer 1

1.
方程①
△=(2k-1)²-4(k-2)(k+1)
=4k²-4k+1-4k²+4k+8
=9＞0
所以方程①总有两个不等的实数根

2.
方程②
△=4(k-2)²-4k(k-3)＞0
k²-4k+4-k²+3k＞0
k＜4

3.
α+β=2(2-k)/k
α*β=(k-3)/k
1/α+1/β
=(α+β)/(α*β)
=2(2-k)/k÷(k-3)/k
=(4-k)/(k-3)
方程①，√△=3
两根为：
x1=(1-2k+3)/2=2-k
x2=(1-2k-3)/2=-1-k
1)
(4-k)/(k-3)=2-k
(k-2)(k-3)=k-4
k²-5k+6=k-4
k²-6k+10=0
△=36-40=-4，无解

2）
(4-k)/(k-3)=-1-k
(k-3)(k+1)=k-4
k²-2k-3=k-4
k²-3k+1=0
k=(3±√5)/2

Answer 2

1. delta=(2k-1)^2-4(k-2)(k+1)=4k^2-4k+1-4k^2+4k+8=9>0,因此有两个不等实根
此两根为-(k-2), -(k+1)
2. delta=4(k-2)^2-4k(k-3)=4(-4k+7)>0, k<7/4, 且k<>0
3. 1/a+1/b=(a+b)/ab=2(2-k)/(k-3)=-(k-2) or -(k+1)
前者：k-2=0 or k-3=2, 即k=2 or k=5
后者：2(k-2)=k^2-2k-3, k^2-4k+1=0, k=2+/-√3

Answer 3

（1)证明：∵(2k－1）^2-4 (k－2)(k+1)
=9 ＞0
∴方程①总有两个不相等的实数根
⑵解：【2(k－2)】^2-4k(k－3)=-k+4＞0
∴k＜ 4
⑶解：x^2+(2k－1)x+(k－2)(k+1)=0
[x+(k－2)][x+(k+1)]=0
∴x1=-k+2, x2=-k-1
1/α+1/β=(α+β)/αβ= -2(k－2)/k ÷ (k-3)/k=-2(k－2)/(k-3)
若 -2(k－2)/(k-3)=-k+2
(k－2)/(k-5)=0
k=2,k=5
若-2(k－2)/(k-3)=-k-1
k^2-4k+1=0
k=-2±√3
所以k=2, k=5，k=-2±√3。