Question

设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)且图像在y轴上的截距为1，被 x轴截得的线段长为2根号2,求f(x)的解析式。

过程：因为f(x-2)=f(-x-2)，所以对称轴x=-2

又因为Y轴截距1，所以过（0，1）

设f(x)=ax^2+4ax+1

因为X轴上线段是2根号2

所以|x1-x2|=根号下[(x1+x2)^2-4x1x2]=2根号2

(x1+x2)^2-4x1x2=8

16-4/a=8

a=1/2

所以f(x)=x^2/2+2x+1

提问：①为什么|x1-x2|=根号下[(x1+x2)^2-4x1x2]=2根号2？
②[(x1+x2)^2-4x1x2]=2根号2中，4x1x2从何而来，如何得到？
③在y轴上的截距为1，为什么不会是过（0，-1）这点而是肯定过（0,1）这点？

Answer 1

您好
1，这是一个恒等式（x1-x2）^2=（x1+x2）^2-4x1x2
2，这时根据上面的式子，x1x2根据韦达定理得出x1x2=所谓的c/a，x1+x2也是韦达定理是所谓的-b/a
3，截距为1就是在y=1处，换句话说，截距有正负。

追问

②4x1x2各个数字代表的含义是什么？
③截距有正负，那么与y轴的交点补液应该有两个吗？

追答

2，这是4埃克斯1乘上埃克斯2，不是4乘1再乘2
3，这个是二次函数，因变量被自变量唯一确定，不可能有两个交点，你说的是在b^2-4ac＞0时，函数与x轴有两个交点

追问

③但是在这道题中，我是要由在Y轴上的截距值去求a，这样，因变量怎么会被自变量所限制呢？自变量我并不知道是正亦或是负，这样为什么不会有两种情况？

追答

3，题目说与y轴的截距为1，就是+1的意思，不是-1，题的意思就是函数值过点（0,1）
换句话说，y轴截距是m，则函数值就过点（0，m）
在数学上，指函数与坐标轴所有交点的（横或纵）坐标之差,可取任何数.
曲线与x、y轴的交点（a，0），（0，b）其中a叫曲线在x轴上的截距；b叫曲线在y轴上的截距。截距和距离不同，截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。
截距是实数，不是“距离”，可正可负。

追问

最后一个问题：
“所以|x1-x2|=根号下[(x1+x2)^2-4x1x2]=2根号2
(x1+x2)^2-4x1x2=8，16-4/a=8”中，为什么
(x1+x2)^2=16？

追答

根据韦达定理，x1+x2=（-4a/a）^2=4^2=16