1.在正方形ABCD中,O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥PB,交直线CD于点E,如图,若点P在

1.在正方形ABCD中,O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥PB,交直线CD于点E,如图,若点P在线段AO上(不与点A,O重合),延长BP交直线A... 1.在正方形ABCD中,O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥PB,交直线CD于点E,如图,若点P在线段AO上(不与点A,O重合),延长BP交直线AD于点F,连接EF。写出线段AF,EF,CE之间一个的等量关系,并证明你的结论。 展开
云雅厹05
2011-07-15 · TA获得超过2056个赞
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解:依题作图,设∠FBD=x,正方形边长为1,则
AF=tan(45-x)=(1-tanx)/(1+tanx),FD=1-AF=1-tan(45-x)=2tanx/(1+tanx).PO=√2/2tanx.
因为△BFD∽△PEC,所以CE/FD=PC/BD,解得:CE=tanx.所以ED=CD-CE=1-tanx.
在此设 tanx=a,方便计算
FE*FE=FD*FD+DE*DE=[2a/(1+a)]*[2a/(1+a)]+(+(1-a)(1-a)
(AF+CE)*(AF+CE)=[(1-a)/(1+a)+a]*[(1-a)/(1+a)+a]
经计算得FE*FE=(AF+CE)*(AF+CE),所以EF=AF+CE。
更多追问追答
追问
这道题是初二几何题,学生看不懂
追答
正切是学过的吧,相似等比学过的吧,你可能不懂的地方是AF=tan(45-x)=(1-tanx)/(1+tanx),是吗?那么,换一个解法,可能计算量大一点,思路如下:设正方形边长为1,从F点作FM垂直BD,垂足为点M,设PO=b,FD=a,∠FBD=x,则FM=√2a/2.因为PE⊥PB,BD⊥AC,所以△BPO∽△BFM,△BFD∽△PEC,根据相似等比,可得:FM/PO=PO/BO,CE/FD=PC/BD.解得:PO=b=√2a/2(2-a).
CE=√2b=a/(2-a).[1式]
DE=1-CE=1-a/(2-a)=(2-2a)/(2-a)[2式]
利用勾股定理求得EF的平方值EF²=(a的四次方-4a³+8a²-8a+4)
再将(AF+CE)的值平方,(AF+CE)²=(a的四次方-4a³+8a²-8a+4)
所以EF=AF+CE。
芊芊的快乐
2011-07-17 · TA获得超过221个赞
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第一问是DF=EF吧
解:(1)连接BE、PD,过点P作AD的垂线,垂足为G,
①因为点O为正方形ABCD对角线AC中点,
∴点O为正方形中心,且AC平分∠DAB和∠DCB,
∵PE⊥PB,BC⊥CE,
∴B、C、E、P四点共圆,
∴∠PEB=∠PCB=45°,∠PBE=∠PCE=45°,
∴∠PBE=∠PEB=45°,
∴△PBE为等腰直角三角形,
∴PB=PE,
在△PAB和△PAD中有:AB=AD,∠BAP=∠DAP=45°,AP为公共边,
∴△PAB≌△PAD(SAS),
∴PB=PD,
∴PE=PD,
又∵PF⊥CD,
∴DF=EF;

②∵PF⊥CD,PG⊥AD,且,∠PCF=∠PAG=45°,
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形,
∵四边形DFPG为矩形,
∴PA=$\sqrt{2}$PG,PC=$\sqrt{2}$CF,
∵PG=DF,DF=EF,
∴PA=$\sqrt{2}$EF,
∴PC=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$(CE+EF)=$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$CE+PA,
即,PC、PA、CE满足关系为:PC=$\sqrt{2}$CE+PA;
(2)结论①仍成立;结论②不成立,此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=$\sqrt{2}$CE.
如图:

①∵PB⊥PE,BC⊥CE,
∴B、P、C、E四点共圆,
∴∠PEC=∠PBC,
在△PBC和△PDC中有:BC=DC(已知),∠PCB=∠PCD=45°(已证),PC边公共边,
∴△PBC≌△PDC(SAS),
∴∠PBC=∠PDC,
∴∠PEC=∠PDC,
∵PF⊥DE,
∴DF=EF;
②同理:PA=$\sqrt{2}$PG=$\sqrt{2}$DF=$\sqrt{2}$EF,PC=$\sqrt{2}$CF,
∴PA=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$(CE+CF)=$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$CE+PC
即,PC、PA、CE满足关系为:PA-PC=$\sqrt{2}$CE.
希望能帮助到您!
追问
②∵PF⊥CD,PG⊥AD,且,∠PCF=∠PAG=45°,
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形,
∵四边形DFPG为矩形,
∴PA=$\sqrt{2}$PG,PC=$\sqrt{2}$CF,
∵PG=DF,DF=EF,
∴PA=$\sqrt{2}$EF,
∴PC=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$(CE+EF)=$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$CE+PA,
即,PC、PA、CE满足关系为:PC=$\sqrt{2}$CE+PA;
看不懂,题目是求AF.EF与CE的关系式。而且,这道题是初二几何题,学生没法读懂。
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anorcheng111
2011-07-13
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xjw条件不足,无法证明是菱形,
要知道一些等腰梯形,或是不规则四边形的对角线也是互相垂直的kdo
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likejumping
2011-07-13 · TA获得超过5511个赞
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