Question

数学：圆锥曲线切线方程推导。请高手给详细解答过程。谢谢。

Answer 1

1.
不妨设点（x0，y0）有一蜕变的椭圆
(x-x0)²/a²+(y-y0)²/b²=0 （1）
er椭圆方程
x²/a²+y²/b²=1 （2）
由它们可构成一系列过它们公共点的曲线系p（1）+q（2）
事实上，(1)-(2)可得原式，显然，这是它们的切线。

2.
（x0，y0)在(x1,y1)切线上,由(1),
x0x1/a²+y0y1/b²=1 （1）
同理
x0x2/a²+y0y2/b²=1 （2）
故(x1,y1)，(x2,y2)均在直线x0x/a²+y0y/b²=1 上
由两点确定一条直线，切点弦方程为所述。

3.
x1²/a²+y1²/b²=1 （1）
x2²/a²+y2²/b²=1 （2）
（1）-（2）：
斜率(y1-y2)/(x1-x2)=-b²(x1+x2)/a²(y1+y2)=-b²x0/a²y0
you过（x0,y0)点:
y=-b²x0/a²y0(x-x0)+y0
整理即可得答案

追问

1中为什么可得出 (x-x0)²/a²+(y-y0)²/b²=0 （1）？

追答

点（x0,y0）显然满足方程。
事实上，点（x0,y0）也可以看作是半径为0的蜕化的圆
(x-x0)²+(y-y0)²=0 等等。
此处仅仅是如此列举比较简便。
好吧，为了严谨，
求过定点切线方程我们可以
1.先求斜率
x²/a²+y²/b²=1 两边对x求导，有2x/a²+2yy'/b²=0 or y'=-(b²y)/(a²x)
所以此处斜率k=-(b²y0)/(a²x0)
切线方程y=-(b²y0)/(a²x0)(x-x0)+y0 联系x0²/a²+y0²/b²=1 即可得原切线方程