求函数f(x)=(2x-1)/(x+1),x属于[3,5]的最大值与最小值。
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用分离变量法:
f(x)=(2x-1)/(x+1)=(2x+2-2-1)/(x+1)=[2(x+1)-3]/(x+1)=2-3/(x+1)
所以最大值:x=5代入为:3/2
最小值x=3代入:5/4
f(x)=(2x-1)/(x+1)=(2x+2-2-1)/(x+1)=[2(x+1)-3]/(x+1)=2-3/(x+1)
所以最大值:x=5代入为:3/2
最小值x=3代入:5/4
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f(x)=2-3/(x+1)
x在[3,5]区间时。函数递减,所以最大值f(x)max=f(3)=5/4
f(x)min=f(5)=3/2
x在[3,5]区间时。函数递减,所以最大值f(x)max=f(3)=5/4
f(x)min=f(5)=3/2
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=(2x+2-3)/(x+1)==(2x+2)/(x+1)-3/(x+1)=2-3/(x+1),把x=3和x=5代入即可,得f(x)=[5/4,3/2]
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在[3,5]上任取x1,x2
,且x1<x2。
则f(x1)-f(x2)=(2*x1-1/x1+1)-
(2*x2-1/x2+1)
化简原式=[(2*x1*x2+1)*(x1-x2)]/(x1*x2)
因为3<=x1<x2<=5,所以2*x1*x2+1>0
,
x1-x2<0
,
x1*x2>0
所以f(x1)-f(x2)<
0,所以函数在[3,5]上单调递增,所以最大值为f(5)=54/5
,最小值为f(3)=20/3
,且x1<x2。
则f(x1)-f(x2)=(2*x1-1/x1+1)-
(2*x2-1/x2+1)
化简原式=[(2*x1*x2+1)*(x1-x2)]/(x1*x2)
因为3<=x1<x2<=5,所以2*x1*x2+1>0
,
x1-x2<0
,
x1*x2>0
所以f(x1)-f(x2)<
0,所以函数在[3,5]上单调递增,所以最大值为f(5)=54/5
,最小值为f(3)=20/3
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