Question

函数f(x)=1/3ax^3+1/2ax^2--2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分必要条件是？

Answer 1

显然 a不为0.
f '(x)=ax^2+ax-2a=a(x-1)(x+2)
令f '(x)=0得极值点 x1=-2，x2=1
1) a>0。f(x)在（-∞，-2）上增，在（-2，1）上减，在（1，+∞）上增，
所以，只须 ｛f(-2)>0
{f(1)<0
即 -8a/3+2a+4a+2a+1>0且 a/3+a/2-2a+2a+1<0
解得 a>-3/16 且 a<-6/5
结合a>0知，此种情况不成立。
2)a<0。f(x)在（-∞，-2）上减，在（-2，1）上增，在（1，+∞）上减，
所以，只须 ｛f(-2)<0
{ f(1)>0
即 -8a/3+2a+4a+2a+1<0且 a/3+a/2-2a+2a+1>0
解得 -6/5<a<-3/16
综上可得，函数f(x)=1/3ax^3+1/2ax^2-2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分必要条件是：
-6/5<a<-3/16。