Question

1/√(1+x^4)不定积分

Answer 1

1+x^4 = (1+x²)² - 2x² = (1+x²+√2x)(1+x²-√2x)
1/(1+x^4)
= [1/(1+x²-√2x) - 1/(1+x²+√2x)]/2√2x
= 1/2√2 *[1/x + (√2-x)/(1+x²-√2x) - 1/x + (√2+x)/(1+x²+√2x)]
= 1/4√2 * [(2x+2√2)/(x²+√2x+1) - (2x-2√2)/(x²+1-√2x)]
= 1/4√2 *[(2x+√2)/(x²+√2x+1) - (2x-√2)/(x²+1-√2x) + √2/(x²+√2x+1) + √2/(x²+1-√2x)]
对(2x+√2)/(x²+√2x+1)求积分得ln(x²+√2x+1)
对(2x-√2)/(x²+1-√2x)求积分得ln(x²+1-√2x)
对√2/(x²+√2x+1)求积分得2arctan(√2x+1)
对√2/(x²-√2x+1)求积分得2arctan(√2x-1)
原式 = 1/4√2 *{ln[(x²+√2x+1))/(x²+1-√2x)] + 2arctan(√2x+1) + 2arctan(√2x-1)} + C

追问

(1+x^4)^(-1/2) 的不定积分 前面有个根号

Answer 2

除非前面那个根号是四次根号，不然没有初等原函数

追问

意思就是算不出来麼？

追答

我认为是积不出来的，

追问

您能详细跟我讲一下为什么积不出来么？ 谢谢啦 (*^__^*)

追答

通过三角代换能得到∫1/(sinx)^(1/2)dx形式的积分，这个好像不能积出来吧

切比雪夫定理：不定积分∫x^p(a+bx^r)^q （其中p,q,r是有理数）是初等函数的充分必要条件是q,(p+1)/r,((p+1)/r)+q 三个数中至少有一个是整数。你这个题目中p=0,r=4,q=-1/2不满足条件，所以没有初等原函数

参考资料： http://wenku.baidu.com/view/4a563460ddccda38376baf70.html