Question

已知x+2y+3x=12,求x^2+2y^2+3z^2的最小值

Answer 1

不知道你们有没有学Cauchy不等式，我估计书上没讲，但这个不等式确实很重要
Cauchy不等式：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)>=(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2
所以这题这么解
(x^2+2y^2+3z^2)(1+2+3)>=(x+2y+3z)^2=144
所以x^2+2y^2+3z^2>=144/6=24
即x^2+2y^2+3z^2的最小值为24

Answer 2

您好 构造拉格朗日函数：
f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+λ(x+2y+3z-12)
分别对x,y,z求导 且由已知条件 x+2y+3z=12
可知2x+λ=0 4y+2λ=0 6z+3λ=0
联立4个方程 解得 x=y=z=－2 λ=－4
带入x,y,z 最小值为24