Question

如图,已知∠aob=120°,om平分∠aob等边三角形的一个顶点P放在射线OM上,两边分别与

如图，已知∠AOB＝120°，OM平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点P放在射线OM上，两边分别与OA、OB（或其所在直线）交于点C、D．
(1)如图①，当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时，证明：PC＝PD．

(2)如图②，当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时，线段PC和PD相等吗？请说明理由．

(3)如图③，当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交
的位置时，线段PC和PD相等吗？直接写出你的结论，不需证明．

Answer 1

解：（1）PC和PD相等．
理由：∵OM平分∠AOB，
∴∠POC=∠POD=60°，
∵PC⊥OA，
∴∠CPO=180°-90°-60°=30°，
∵∠CPC′=∠D′PD，
∴∠CPD=60°，
∴∠DPO=30°，
∴∠CPO=∠DPO；
∵PO=PO，
∴根据“ASA”，可以得到△PCO≌△PDO，
∴PC=PD．

（2）PC′和PD′相等．
理由：由（1）得△PCO≌△PDO，
∴PC=PD，∠PCC′=∠PDD′=90°，
∵∠CPD=∠C′PD′，
∴∠CPD-∠C′PD=∠C′PD′-∠C′PD，
即∠CPC′=∠DPD′，
∴根据“ASA”，可以得到△PCC′≌△PDD′．
∴PC′=PD′．