Question

已知函数f(x)对任意实数x均有f(x）=kf(x+2),其中常数k为负数，且f(x)在区间[0，2]上有表达式f(x)=x(x-2)

1、求f(-1),f(2.5)的值
2、写出f(x)在[-3，3]上的表达式，并讨论f(x)在[-3，3]上的单调性
3、写出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值，并求出相应自变量的取值

Answer 1

1. f(-1)=kf(1)=k*1*(1-2)=-k
f(2.5)=f(0.5)/k=0.5*(0.5-2)/k=-3/4k
2.当-3≤x≤-2
1≤x+4≤2
f(x)=kf(x+2)=k^2f(x+4)=k^2(x+4)(x+2)
当-2≤x≤0
0≤x+2≤2
f(x)=kf(x+2)=kx(x+2)
当0≤x≤2
f(x)=x(x-2)
当2≤x≤3
0≤x-2≤1
f(x)=f(x-2)/k=(x-2)(x-4)/k
然后组合一下写出表达式
单调性
当-3≤x≤-2
f(x)=k^2(x+4)(x+2)=k^2[(x+3)^2-1]
在[-3,-2]上单调递增
当-2≤x≤0
f(x)=kx(x+2)=k[(x+1)^2-1]
因为k<0
在[-2,-1]递增，在[-1,0]递减
当0≤x≤2
f(x)=x(x-2)=(x-1)^2-1
在[0,1]递减，[1,2]递增，
当2≤x≤3
f(x)=(x-2)(x-4)/k=[(x-3)^2-1]/k
在[2,3]上单调递增
因此f(x)在[-3,-1]和[1,3]上单调递增，在[-1,1]单调递减
3.通过单调性可知
f(x)在x=-3和x=1处可能存在最小值
f(-3)=-k^2 f(1)=-1
f(x)在x=-1和x=3处可能存在最大值
f(-1)=-k f(3)=-1/k
如果k≤-1 -k^2≤-1 -1/k≤-k
此时f(x)最小值是-k^2 最大值是-k
如果-1<k<0 -k^2>-1 -1/k>-k
此时f(x)最小值是-1，最大值是-1/k

Answer 2

x∈[0.2]时f(x)=x(x-2)=k(x+2)x,
k=(x-2)/(x+2),不是常数，矛盾。
题目有误。