Question

已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的表达式

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c
因为f(0)=1,所以c=1

f(x+1)-f(x)
=a(x+1)^2+b(x+1)+c-ax^2-bx-c
=2ax+b+1
=2x
所以2a=2,b+1=0
所以a=1,b=-1,
解得f(x)=x^2-x+1

Answer 2

解：设f(x)=ax^2+bx+c.
∵ f(0)=1 ∴c=1.
f(x+1)-f(x)=2x.
a(x+1)^2+b(x+1)+1-(ax^2+bx+1)=2x.
ax^2+2ax+a+bx+b-ax^2-bx=2x,
2ax+a+b=2x.
2ax=2x, a=1；
a+b=0, b=-a=-1.
∴f(x)=x^2-x+1.

Answer 3

令f(x)=ax2+bx+c
因f(0)=1，则c=1
又f(x+1)-f(x)=2x
故a（x+1）2+b（x+1）+1-ax2-bx-1=2x
ax2+2ax+a+bx+b-ax2-bx=2x
2ax+a+b=2x
故2a=2
a+b=0
所以a=1 b=-1
故f(x)=x2-x+1

Answer 4

设为f(x)=ax^2+bx+c
由f(x+1)-f(x)=2x
得f(1)=f(0)=1
f(2)=f(1)+2=3
知道了三个点不难求出表达式为
f(x)=x^2-x+1