Question

高中数学奇偶性证明题，求解！

已知函数f(x),当x,y在R上时，恒有：f(x*y)=x*f(y)+y*f(x). 求证函数是奇函数.

Answer 1

x=y=1------>f(1)=2f(1)--------->f(1)=0
x=y=-1----->f(1)=-2f(-1)------->f(-1)=0
x=-1--------->f(-y)=-f(y)+yf(-1)=-f(y)+0
所以，是奇函数。

Answer 2

f(x*y)=x*f(y)+y*f(x).
设y=-1,则f(-x)=x*f(-1)-f(x)
f(x)+f(-x)=x*f(-1)
用-x代x:
f(-x)+f(x)=-x*f(-1)
所以
f(-x)+f(x)=-x*f(-1)=-[f(x)+f(-x)]
f(x)+f(-x)=0
f(x)=-f(-x)
奇函数。

Answer 3

你的*是什么意思？

Answer 4

因为f(x)对任意x，y都有f(xy)=xf(y)+yf(x)
∴令x=t，y=－1,有f(-t)=-f(t)+t*f(-1)
令x=y=－1时.代入得f(-1)=0
将f(-1)=0代入得,f(-t)=-f(t)
∴函数是奇函数