高中数学奇偶性证明题,求解!
已知函数f(x),当x,y在R上时,恒有:f(x*y)=x*f(y)+y*f(x).求证函数是奇函数....
已知函数f(x),当x,y在R上时,恒有:f(x*y)=x*f(y)+y*f(x). 求证函数是奇函数.
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f(x*y)=x*f(y)+y*f(x).
设y=-1,则f(-x)=x*f(-1)-f(x)
f(x)+f(-x)=x*f(-1)
用-x代x:
f(-x)+f(x)=-x*f(-1)
所以
f(-x)+f(x)=-x*f(-1)=-[f(x)+f(-x)]
f(x)+f(-x)=0
f(x)=-f(-x)
奇函数。
设y=-1,则f(-x)=x*f(-1)-f(x)
f(x)+f(-x)=x*f(-1)
用-x代x:
f(-x)+f(x)=-x*f(-1)
所以
f(-x)+f(x)=-x*f(-1)=-[f(x)+f(-x)]
f(x)+f(-x)=0
f(x)=-f(-x)
奇函数。
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因为f(x)对任意x,y都有f(xy)=xf(y)+yf(x)
∴令x=t,y=-1,有f(-t)=-f(t)+t*f(-1)
令x=y=-1时.代入得f(-1)=0
将f(-1)=0代入得,f(-t)=-f(t)
∴函数是奇函数
∴令x=t,y=-1,有f(-t)=-f(t)+t*f(-1)
令x=y=-1时.代入得f(-1)=0
将f(-1)=0代入得,f(-t)=-f(t)
∴函数是奇函数
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