Question

求证n≥2 ，n为正整数时，求证4/7≤1/（n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n-1)+1/2n＜√2/2

柯西不等式求解。我就只能求出≥4/7，＜√2/2就不会了。各位大大，求解！！！！

Answer 1

如果你要求简单的话1/（n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n-1)+1/2n可以化为∫1/(1+x)dx x∈[0,1]得ln2
因为Σ1/(n+i)递增，所以1/（n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n-1)+1/2n＜√2/2
然后取前两项1/3+1/4=7/12>4/7所以成立

追问

额，微积分啊。我不会唉。最好用柯西不等式证明。

追答

这题和柯西不等式无关啊 没有平方项 为何用柯西不等式

追问

题目里就是用柯西不等式证明啊

追答

根本不懂你什么意思

Answer 2

∫[x x+1] 1/t dt < 1/x < ∫[x-1 x] 1/t dt
记上式和s
∫[n+1 2n+1] 1/t dt < s < ∫[n 2n] 1/t dt
ln[(2n+1)/(n+1)] < s < ln2
当n=2及3时直接计算s，发现满足，
当n>=4时，ln(9/5) < ln[(2n+1)/(n+1)] < s < ln2
由于ln 2 < √2/2，ln(9/5) > 4/7故成立