Question

已知菱形ABCD，AC是对角线，P为AB上一动点，连接DP交AC于点E，连接EB ⑴求证∠APD=∠EBC。

⑵当P位于何处时，△APD的面积是菱形面积的四分之一。

Answer 1

问题(1) ：求证∠APD=∠EBC
解：
根据菱形的性质得到：
AB=BC=CD=AD
AB//CD；
AD//BC
根据菱形的对角线性质，得到：
∠DAC=∠CAB=∠ACD=∠ACB ；
∵ ∠ACD=∠ACB，BC=CD，△DCE与△BCE共边EC；
∴ 根据全等三角形的判定，可得到：
△DCE≌△BCE （根据“边角边”判断，两个三角形为全等三角形）；
可推出：
∠EDC=∠EBC 结论（1）
∵ AB//CD，
∴ ∠APD=∠EDC 结论（2）
∴ 综合结论（1）、结论（2），可得到：
∠APD=∠EDC=∠EBC
即： ∠APD=∠EBC

问题(2) ：当P位于何处时，△APD的面积是菱形面积的四分之一？
解： 过D点△APD的高DM，设DM=h，根据题意得：
S△APD=(1/2)×AP×h；
S菱形⠀ABCD=AB×h；
要使△APD的面积是菱形面积的四分之一，则：
S△APD=(1/4)× S菱形⠀ABCD
(1/2)×AP×h=(1/4)× AB×h
AP×h=(1/2)× AB×h
AP=(1/2)× AB
=AB/2
∴ 当AP=AB/2时（即：P为AB的中点时），△APD的面积是菱形面积的四分之一。

Answer 2

解：
(1)
∵ABCDA是菱形
∴BC=DC,∠ECB=∠ECD
∴△ECB≌△ECD
∴∠EBC=∠EDC
又∠APD=∠EDC
∴∠APD=∠EBC
(2)
过点D作DF⊥BA延长线于点F
则DF是菱形ABCD边AB上的高，同时也是△APD边AP上的高
则
S◇ABCD=AB·DF
S△APD=AP·DF/2
∴当AP=AB/2时，△APD的面积是菱形面积的四分之一
此时，点P是AB的中点。