Question

若不等式√（1-x∧2)＜x-a在区间[-1,1]上恒成立，求a的取值范围，请注意最前面的根号，那个是根号下的

Answer 1

首先x-a>√（1-x^2)>=0，因此x>a恒成立，因此a<-1
因为两边大于0，两边取平方得：
x^2-2ax+a^2>1-x^2
2x^2-2ax+a^2-1>0
然后将所有含x的项凑成完全平方：
2(x-a/2)^2+1/2*a^2-1>0
设f(x)=2(x-a/2)^2+1/2*a^2-1，问题转化为f(x)的最小值>0，其中x在[-1,1],a<-1
有两种情况，
一种是当-2<=a<-1时，a/2范围[-1,-0.5)在x的取值范围内，f(x)的最小值在x=a/2时取得，f(a/2)=1/2*a^2-1>0。因此a^2>2,因此a<-√2。综合来说-2<=a<-√2
另一种是当a<-2时，a/2<-1，因此f(x)的最小值在x=-1时取得，f(-1)=2+2a+a^2-1=(a+1)^2一定会成立。结合条件，a<-2
因此a的取值范围为a<-√2
求取值范围的题目一般比较灵活，这题难点在于转化为二次方程求极值的问题。