Question

如图，抛物线y=ax^2-3ax+b经过A（-1,0），C（3,4）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值；
（3）点E是第二象限内到x轴，y轴的距离的比为9:2的点，如果点E在（1）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使三角形APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）把A（-1,0），C（3,4）代入函数解方程组得a=-1，b=4，所以y=-x^2+3x+4
（2）由题意，k>0.设与x轴交点为M（x1,0），与DC交点为N（x2,0）。
则x1=1/k，x2=5/k，因为四边形AMND面积与四边形MBCN相等，所以AM+DN=MB+NC，
即1/k+1+5/k=（4-1/k） +（3-5/k）
所以k=2，y=2x-1
（3）E点横纵坐标比是不是应该2：9，不然E点坐标很复杂

追问

(3)比值是9:2 。 现在就是第三问不会做.

追答

E点到x轴的距离为9a 则到y轴的距离为2a
解得a=1/4,E(-1/2, 9/4)，连接BE交对称轴于点P，BE的方程为x+2y-4=0
所以P（3/2,5/4）存在

E点到x轴的距离为9a 则到y轴的距离为2a
解得a=1/4,E(-1/2, 9/4)，连接BE交对称轴于点P，BE的方程为x+2y-4=0
所以P（3/2,5/4）存在

Answer 2

(3)E点到x轴的距离为9a 则到y轴的距离为2a；则 E(-2a，9a) a>0
解得a=1/4,E(-1/2, 9/4)
作AE中垂线交对称轴于P 即可解得