Question

在三角形ABC中，角C等于90度，D是AB的中点，E,F分别在AC,BC上，且角EDF=90度，求证：EF2=AE2+BF2

Answer 1

这道题似乎是初中难度，但我证明时却用了正弦定理，高中知识。
证明如下：
∵ΔADE中，AE/sin∠ADE=DE/sin∠A=AD/sin∠AED
∴AE²=(AD·sin∠ADE/sin∠AED)²
∵ΔBDF中，BF/sin∠BDF=DF/sin∠B=BD/sin∠BFD
∴BF²=(BD·sin∠BDF/sin∠BFD)²
∴AE²+BF²=(AD·sin∠ADE/sin∠AED)²+(BD·sin∠BDF/sin∠BFD)²
∵∠AED+∠BFD=180° ∴sin∠AED=sin∠BFD
∵∠ADE+∠BDF=90° ∴sin²∠BDF＋sin²∠ADE=1
∴AE²+BF²=(AD·sin∠ADE/sin∠AED)²+(BD·sin∠BDF/sin∠BFD)²
=(AD/sin∠AED)²
=(AD/sin∠CED)²
∵D是AB中点 ∴AD=BD=CD
∴AE²+BF²=(CD/sin∠CED)²
∵∠EDB=∠ECB=90° ∴EDCB在同一圆上，CD/sin∠CED为外接圆直径，即EF
∴AE²+BF²=(CD/sin∠CED)²=EF²

楼主如果对正弦定理不理解，可以看看百科。看我打了这么多，符号这么难打的都写了，给分吧

Answer 2

过E作AB边的垂线交点为G，过F作AB边的垂线交点为H，
因为，三角形AGE相似于三角形FHB，三角形DGE相似于三角形FHD
所以，AG/FH=GE/HB 即AG*HB=GE*FH
DG/FH=GE/HD 即DG*HD=GE*FH
所以 AG*HB=DG*DH 即AG/DG=DH/BH
又因为AD=DB
所以 AG=DH GD=BH

据勾股定理FD2=BF2-BH2+DH2 ED2= AE2-AG2=DG2
二式相加EF2=BF2+AE2

Answer 3

延长ED到G，使DE=DG
因为D是AB中点
所以AD=BD，
角EDA=角BDG
得到三角形ADE全等于三角形BDG
所以角A=角DBG，AE=BG，ED=DG
所以AC‖BG
得到角CBG=180度-角C=90度
再连接GF
因为DF=DF，ED=DG，角FDE=角FDG
所以三角形EDF全等于三角形GDF
所以EF=FG

又因为在直角△FBG中 FG平方=FB平方+BG平方
所以EF平方=AE平方+BF平方