Question

奥数题 不定方程问题

①有两组数，第一组数的平均数是12.8，第二组数的平均数是10.2，而这两组数的平均数是12.02，这两组数的个数之和最小是几？
②甲一分钟能洗3个盘子或9个碗，乙一分钟能洗2个盘子或7个碗。甲、乙两人合作，20分钟洗了134个盘子和碗，问有几个盘子几个碗?
③有一项工程，甲单独需36天完成，乙单独需30天完成，丙单独需48天完成，现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整天数，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整天数，那么，丙休息了几天？

Answer 1

1、10
设第一组有x个数，第二组有y个数
则12.8x+10.2y=12.02(x+y)
化简后得3x=7y
因为x和y均为整数，所以当x=7,y=3时，x+y=7+3=10最小。
2、甲洗了36个碗，48个盘子；乙洗了14个碗，36个盘子。二者之和为盘子84个，碗50个。
设：甲花了x分钟洗碗，花了（20-x）分钟洗盘子
乙花了y分钟洗碗，花了（20-y）分钟洗盘子
则9x+（20-x）*3+7y+（20-y）*2=134
化简 6x+5y=34
由于必须是整数，解得x=4
y=2
所以甲洗了36个碗，48个盘子
乙洗了14个碗，36个盘子
即84个盘子，50个碗。
3、11天
假设工程总量是720个，则甲一天完成20个，乙一天完成24个，丙一天完成15个。
若全部由甲、乙两人做的，那么他们要做16天还余下16个没有完成（720/（20+24）），这16个就给丙来做，但是由于丙也完成的是整数天，所以甲和乙就要少做几天，这样丙才做整数天，16+44n=15k，由于16和44都是偶数，所以k也必须是偶数，而当k是偶数时15k的尾数就为0，
我们发现只有n的尾数为1时16+44n的尾数才为0，（如果这里再加上3的倍数那么就可以直接得出n=1）当n=1时，k=4，那么甲和乙就做了16-1=15天，丙休息了15-4=11天；而当n=11时很显然是不符合条件的。
故丙休息了11天。

希望对你有所帮助！

Answer 2

①设第一组有m个数，第二组有n个数，于是有
12.8m+10.2n=12.02（m+n），化简为：
3n=7m。m，n都是正整数，所以，符合条件的m，n的最小值是3和7，
因此，m+n的最小值是10。
②设甲洗盘子的时间为X分钟，乙洗盘子的时间为Y分钟，于是
3X+9（20-X）+2Y+7（20-Y）=134
化简为：6X+5Y=186，X=31-5Y/6。
因为X，Y取0到20之间的正整数，所以，X=16，Y=18
盘子有：3*16+2*18=84（个），碗有：9（20-16）+7（20-18）=50（个）。
③甲乙做了X天，乙休息了Y天，于是有
（1/36+1/30）X+1/48（X-Y）=1
化简为：Y=59X/15-48，因为X，Y都是正整数，且X>Y，所以，X=15，Y=11。
丙休息了11天。