Question

三角函数入门问题

等腰三角形的周长为2+2倍根号3，底边上的高为1.
求底角的正弦值和等腰三角形的面积.

Answer 1

设等腰三角形为△ABC，AB=AC=x，高为AD=1
已知AB+AC+BC=2+2√3
所以BC=2+2√3-2x
则BD=CD=(1/2)BC=1+√3-x
在Rt△ADB中 AB²=AD²+BD²
即x²=1+(1+√3-x)²=1+(1+√3)²-2(1+√3)*x+x²
解得x=(3√3+1)/4
BC=2+2√3-(3/2)√3-1/2=(3+√3)/2
所以底角的正弦=sin∠ABC=AD/AB=4/(3√3+1)=2(3√3-1)/13
面积=(1/2)BC*AD=(3+√3)/4
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

Answer 2

运算有点烦。设腰长为x，则底边长为2+2（根号3）-2x.
底边上的高把等腰三角形分为两个全等的直角三角形，利用勾股定理，
可得到关于x的方程，求出腰长x后，下面的问题有好办啦。
结果有点烦，留给你算算吧，别灰心，胜利就在前方。
我推荐3楼的解答。

Answer 3

假设等腰三角形的腰长x，一半底长y
2×(x+y)=2+2√3
y² + 1 = x²
解得：x=（1+3√3）/4
y=(3+√3)/4
底角的正弦=1/x=(3√3-1)/7
S△ABC=（1/2）× x × 2y × Sin = (3+√3)/4

Answer 4

设等腰三角形为△ABC，AB=AC，高为AD=1，底角为θ.
则AB+AC+BC=2*（AB+AD）=2+2倍根号3；且△ABD中，AB^2=BD^2+AD^2=AD^2+1.
可解得AB=(1+3√3)/4；BD=(3+√3)/4；
sinθ=AD/AB=(3√3-1)/7；
△ABC面积=1/2*BC*AD=(3+√3)/4.