已知abc为正数,求证根号a2+b2+根号b2+c2+根号c2+a2大于根号2(a+b+c)

尚安璿
2011-07-22 · TA获得超过185个赞
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2(a²+b²)>=a²+b²+2*a*b=(a+b)²
a²+b²>=(a+b)²/2
√(a²+b²)>=√[(a+b)²/2]=(a+b)/√2
同理
√(b²+c²)>=(b+c)/√2
√(a²+c²)>=(a+c)/√2
所以
√(a²+b²)+√(b²+c²)+√(a²+c²)>=(a+b)/√2+(b+c)/√2+(a+c)/√2=2(a+b+c)/√2=√2(a+b+c)
得证
注意a=b=c时可以去等号的,所以应该是大于等于
zhzhouy
2011-07-22 · TA获得超过3363个赞
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将求证式两边平方得:(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+2√[(a^2+b^2)(b^2+c^2)]+2√[(a^2+b^2)(c^2+a^2)]+√[(b^2+c^2)(c^2+a^2)]>2(a+b+c)^2
由柯西不等式有:(a^2+b^2)(b^2+c^2)>=(ab+bc)^2,当且仅当a/b=b/c时取等号。
同理,(a^2+b^2)(c^2+a^2)>=(ac+ab)^2,(b^2+c^2)(c^2+a^2)>=(bc+ac)^2
于是,求证式左边>=2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc)+2(ac+ab)+2(bc+ac)=2(a+b+c)^2
取等号的条件是,a/b=b/c=c/a成立,即a=b=c。
故此:式子得证。【注:跟原式不同大于变成了大于等于号;另外,柯西不等式是高二的数学内容,不明白的可以问,若看书,一看就明白。】
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