已知abc为正数,求证根号a2+b2+根号b2+c2+根号c2+a2大于根号2(a+b+c)
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将求证式两边平方得:(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+2√[(a^2+b^2)(b^2+c^2)]+2√[(a^2+b^2)(c^2+a^2)]+√[(b^2+c^2)(c^2+a^2)]>2(a+b+c)^2
由柯西不等式有:(a^2+b^2)(b^2+c^2)>=(ab+bc)^2,当且仅当a/b=b/c时取等号。
同理,(a^2+b^2)(c^2+a^2)>=(ac+ab)^2,(b^2+c^2)(c^2+a^2)>=(bc+ac)^2
于是,求证式左边>=2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc)+2(ac+ab)+2(bc+ac)=2(a+b+c)^2
取等号的条件是,a/b=b/c=c/a成立,即a=b=c。
故此:式子得证。【注:跟原式不同大于变成了大于等于号;另外,柯西不等式是高二的数学内容,不明白的可以问,若看书,一看就明白。】
由柯西不等式有:(a^2+b^2)(b^2+c^2)>=(ab+bc)^2,当且仅当a/b=b/c时取等号。
同理,(a^2+b^2)(c^2+a^2)>=(ac+ab)^2,(b^2+c^2)(c^2+a^2)>=(bc+ac)^2
于是,求证式左边>=2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc)+2(ac+ab)+2(bc+ac)=2(a+b+c)^2
取等号的条件是,a/b=b/c=c/a成立,即a=b=c。
故此:式子得证。【注:跟原式不同大于变成了大于等于号;另外,柯西不等式是高二的数学内容,不明白的可以问,若看书,一看就明白。】
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