Question

数列an,a1=1,a2=2,An+2=(An+An+1)/2,n为正整数，（1）令Bn=An+1-An,求证Bn为等比数列（2）求An的通项公式

Answer 1

a2+(a1)/2=2.5
A(n+2)=(An+A(n+1))/2
a(n+2)+[a(n+1)]/2=a(n+1)+(an)/2
所以数列{a(n+1)+(an)/2}是首项为2.5，公比为1的等比数列
故a(n+1)+(an)/2=2.5
a(n+1)=2.5-(an)/2=2.5-[2.5-(a(n-1))/2]=(a(n-1))/2
an=2.5-(a(n-1))/2=2.5-[2.5-(a(n-2))/2]=(a(n-2))/2
（其实an就是周期数列）
n为奇数时，an=1
n为偶数时，an=2
即an=3/2+[(-1)^n]*(1/2)
bn=an-a(n-1)=[(-1)^n]*(1/2)-[(-1)^(n-1)]*(1/2)= - (-1)^(n-1)
故b(n+1)/bn= [- (-1)^n]/ [- (-1)^(n-1)]=-1
故bn为等比数列
an=3/2+[(-1)^n]*(1/2)
谢谢采纳