Question

.当三角形PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长。

已知三角形ABC中，角c=90度，AB=5,BC=3，PQ//AB,P点在AC上(与A,C不重合)，Q在BC上。1.当三角形PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长。2.当三角形PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。3.在AB上是否存在一点M，使三角形PQM为等腰三角形，若存在，请求出PQ长。

Answer 1

1) 易证 △CPQ∽△CAB

      ∵△PQC的面积与四边形PABQ面积相等

      ∴相似比=√（s△CPQ/s△CAB)= √(1/2)=√2/2    （面积比=相似比的平方）

      ∵CP/CA=√2/2

      ∴CP=4×√2/2=2√2

 

(2)  设CP=x,则CQ=3x/4,PQ=5x/4, △PQC周长等于 3x

       四边形PABQ周长等于（3-3x/4)+(4-x)+5+5x/4=12-x/2      

       3x=12-x/2时，x=24/7

 

(3) ∵AB=5，BC=3，AC=4 

     ∴△ABC为RT三角形, ∠C为直角 

其中PQ=PM,PQ垂直PM, 三角形PQM为等腰直角三角形 

       设:PQ=PM=x 

       ∵ CD×AB=AC×BC   （同一个三角形面积相等）

       ∴ CD=12/5 

       ∵ CF/CD=PQ/AB 

       ∴ [(12/5)-x]/(12/5)=x/5 

       ∴ x=60/37 

      即:当PQ=60/37时,AB上存在点M使△PQM为等腰直角三角形 

 PM=QM,PM垂直QM, △PQM为等腰直角三角形 

      设:PQ=2x,则FD=x       ( FD=等腰Rt△PQM的高=底的一半）

       ∵CF/CD=PQ/AB 

       ∴[(12/5)-x]/(12/5)=2x/5 

       ∴x=60/49 

       ∴ 2x=120/49 

      即:当PQ=120/49时,AB上存在另一点M使△PQM为等腰直角三角形