Question

数列an的首项为1，前n项和是Sn，存在常数A,B使an+Sn=An+B对任意正整数n都成立。

Answer 1

解：
Sn=an+An+B
Sn-1=a(n-1)+A(n-1)+B
an=Sn-Sn-1=an-a(n-1)+A
a(n-1)=A，为定值。
a1+a1=A+B
2A=A+B B=A
2a1=2A，a1=1代入得A=1
an=1
数列{an}为各项均等于1的常数数列，通项公式an=1

Answer 2

：（Ⅰ）A=0时，an+Sn=B，
当n≥2时，由，{ an+Sn=B an-1+Sn-1=B 得，an-an-1+（Sn-Sn-1）=0
即an an-1 =1 2 ，所以，数列{an}是等比数列．（4分）
（Ⅱ）设数列的公差为d，分别令n=1，2，3得：，
{ a1+S1=A+B a2+S2=2A+B a3+S3=3A+B ，即，{ 2=A+B 2d+3=2A+B 5d+4=3A+B ，解得，{ A=1 B=1 d=0 ，
即等差数列{an}是常数列，所以Sn=n；（7分）
又1 Sp +1 Sq =1 S11 ，则1 p +1 q =1 11 ，pq-11p-11q=0，（p-11）（q-11）=112，
因p＜q，所以 p-11=1 q-11=112 ，解得 p=12 q=132 ．（10分）
（Ⅲ）当n=1时，2=A+B，所以B=2-A
所以an+Sn=An+（2-A），
当n≥1时，由，{ an+Sn=An+2-A an+1+Sn+1=A(n+1)+2-A 得，an+1-an+（Sn+1-Sn）=A
即an+1=1 2 an+1 2 A
所以an+1-A=1 2 (an-A)，又a1-A≠0
即数列{an-A}是公比为1 2 的等比数列，
所以an-A=(a1-A)(1 2 )n-1，即an=(1-A)(1 2 )n-1+A，（12分）
an an+1 =2nA-2A+2 2nA-A+1 =1+1-A (2n-1)A+1 ，
①当A＞1时an an+1 =1+1-A (2n-1)A+1 ＞1
且an an+1 的值随n的增大而减小，
即a1 a2 ＞a2 a3 ＞a3 a4 ＞，
所以，M≥a1 a2 ，即M的取值范围是[2 A+1 ，+∞)；（14分）
②当0＜A＜1时an an+1 =1+1-A (2n-1)A+1 ＜1
且an an+1 的值随n的增大而增大，
即a1 a2 ＜a2 a3 ＜a3 a4 ＜…，
所以，M≥1，即M的取值范围是[1，+∞）．