Question

已知数列An的前N项和为Sn，且A1=1 An+1=1/3Sn,N为正整数。

（1）求A2 A3 A4的值及通项公式
（2）求A2+A4+A6+……+A（2n）的和

Answer 1

（1）
A1=1
A2=1/3*S1=1/3*A1=1/3
A3=1/3*S2=1/3*(A1+A2)=4/9
A4=1/3*S3=1/3*(A1+A2+A3)=16/27

A(n+1)=1/3Sn
=>Sn=3*A(n+1)
=>An=Sn-S(n-1)=3(A(n+1)-A(n)
=>A(n+1)=4/3*An
=>An=A1*(4/3)^(n-1)=(4/3)^(n-1)

(2)
A2+A4+...+A(2n)=4/3*(A1+A2+...A(2n-1))
=>
S(2n)=A1+A2+..+A(2n)=(1+3/4)*(A2+A4+...+A(2n))
=>A2+A4+..+A(2n)=4/7*S(2n)
=4/7*(1-(4/3)^(2n))/(1-4/3)
=12/7*(4/3)^(2n)-12/7

Answer 2

通项公式应为：
由题：a(n+1)=1/3Sn
a(n+2)=1/3Sn+1
a(n+2)-a(n+1)=1/3(Sn+1-Sn)
a(n+2)/a(n+1)=a/3(n>=1,n∈N*)
则{an}是从第二项开始，以1/3为首项，4/3为公比的等比数列
则{an}通项公式为：an=1(n=1)；an=4^(n-1)/3^n(n>=2,n属于N*)

Answer 3

但是A1=1A2=1/3，此时通项公式不符合啊！！！