Question

高一数学奇偶性的一个问题

题目：已知定义在R上得函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x〉0时，
f(x)〈0，又f(1)=-2/3。
(1)求证：f(x)为奇函数

Answer 1

对任意实数x，y恒有f(x)+f(y)=f(x+y)
则可取x=y=0
则f(0)+f(0)=f(0+0)
得f(0)=0
再取x=x,y=-x
得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0
即f(-x)=-f(x)
所以f(x)为奇函数

追问

那都是=0，为什么不能看成f(x)=f(-x)=0为偶函数呢

追答

注意看清，是f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0
而不是f(x)=f(-x)=0

追问

设y=-x
(1) f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(o)
(2) 把-x带入 f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(o)
f(x)=f(-x) 不是偶函数了吗？ 哪步不可以？

追答

额
你的（1）得出的是 f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(o)=0，那么就是 f(x)+f(-x)=0对吧
你的（2）得出的是 f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(o)=0，那么就是 f(-x)+f(x)=0对吧
这两个得出的东西是一样的
都是 f(-x)+f(x)=0
就是f(x)和f(-x)的和是0
而不是f(x)=f(-x)

Answer 2

令y=-x
f(x)+f(-x)=f(0)
当x=y=0时，f(0)=0
所以f(x)=-f(-x)

Answer 3

令x=y=0 则得f(0)+f(0)=f(0) 得 f(0)=0
在令y=-x 则得 f(x)+f(-x)=f(0)=0 得f(x)=f(-x)
所以f(x)为奇函数

追问

得f(x)=f(-x)不应该是偶函数吗