Question

已知实数x,y,z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,则z的最大值是？为什么？

Answer 1

已知实数x,y,z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,

所以，
x+y=5-z
xy=3-z(x+y)
=3-z(5-z)
=3-5z+z²

由基本不等式得
√(xy)≤(x+y)/2
即(xy)≤(x+y)²/4
即3-5z+z²≤(5-z)²/4
所以，
3z²-10z-13≤0
即(3z-13)(z+1)≤0
所以
z∈[-1,13/3]

所以，z的最大值为13/3

Answer 2

x+y=5-z
xy=3-z(x+y)
=3-z(5-z)
=3-5z+z^2,
(x-y)^2=(x+y)^2-4xy
=(5-z)^2-4(3-5z+z^2）
=z^2-10z+25
-4z^2+20z-12
=-3z^2+10z+13>=0,
∴-1<=z<=13/3,
当x=y=1/3时z=13/3,
∴z|max=13/3.