Question

已知数列{an}的各项均为正数,且满足关系式2√Sn=an+1(这里Sn为数列{an}的前n项和)，求an

Answer 1

平方得4Sn=an²+2an+1
继续得4S（n-1）=a（n-1）²+2a（n-1）+1
两式相减，得4an=an²-a（n-1）²+2an-2a（n-1）
移项得an²-2an=a（n-1）²+2a（n-1）
两边同加1，得，（an-1）²=[a（n-1）+1]²
由于各项均是正数，平方可以去掉，得，an=a(n-1)+2
将n=1代入原式，得a1=1
所以an=2n-1.

Answer 2

2√Sn=an+1,两边平方得：4Sn=An^2+2An+1
令n=1，可得A1=1
4S(n-1)=A(n-1)^2+2A(n-1)+1
两式相减得：4An=An^2-A(n-1)^2+2An-2A(n-1)
即得An-A(n-1)=1（n>1)（An>0)
得An=n，显然对n=1也满足
故An=n