Question

已知双曲线 与抛物线 有一个公共的焦点 ，且两曲线的一个交点为 ， ，则该双曲线的两条渐近线方程为 .

．已知双曲线 与抛物线 有一个公共的焦点 ，且两曲线的一个交点为 ， ，则该双曲线的两条渐近线方程为 .

Answer 1

对应抛物线标准式y² = 2px，抛物线y² = 8x中的p = 4，
故其焦点F的坐标为(p/2，0)，即(2，0)，准线为x = -p/2 = -2。
由抛物线定义，点P到准线x = -2距离 = |PF| = 5。故点P横坐标为 5-2 = 3。
代入y² = 8x，解得点P纵坐标为±2√6。
记双曲线的左右两焦点分别为F1，F2，由于点F2与点F重合，坐标为(2，0)，所以点F1的坐标为(-2，0)。
利用两点间距离公式，可算得|PF1| = 7，而|PF2| = |PF| = 5
根据双曲线的定义，得出双曲线的参数 a = (7-5)/2 = 1
由于抛物线开口向右，故点P在双曲线右支上。
利用右焦半径公式r = │ex-a│，代入r = 5，x = 3，a = 1。解得离心率e = 2或-4/3
由于e > 1，故舍去e = -4/3
故双曲线参数 c = ae = 2，b = √(c²-a²) = √3
∴该双曲线的两条渐近线方程为 y=±(b/a)x = ±√3x